直積集合

集合の直積（デカルト積）とは

数学において、集合の直積（デカルト積）とは、複数の集合から要素を一つずつ取り出して組み合わせた新しい集合を指します。この概念は、集合論の基礎であり、様々な数学分野で重要な役割を果たします。特に、二つ以上の集合の関係性を考察する際に不可欠です。

直積の定義

二つの集合 A と B があるとき、これらの直積 A × B は、A の要素 a と B の要素 b の順序対 (a, b) 全てからなる集合として定義されます。数式で表すと以下のようになります。

math
A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \land b \in B\}


ここで、(a, b) は順序対であり、a と b の順序が重要です。例えば、a ≠ b であっても、(a, b) と (b, a) は一般に異なる要素です。

有限個の集合 A₁, A₂, ..., Aₙ の直積 A₁ × A₂ × ... × Aₙ も同様に、各集合から要素を一つずつ取り出した n-組 (a₁, a₂, ..., aₙ) 全てからなる集合として定義されます。

直積の注意点

直積演算は、二項演算として可換ではありません。つまり、一般的に A × B ≠ B × A です。また、厳密には結合的でもありません。すなわち、(A × B) × C と A × (B × C) は異なる集合です。しかし、これらの間に自然な全単射が存在するため、誤解の恐れがない場合は同一視されることが一般的です。

直積の記法

直積は、集合族 {Aᵢ : i ∈ I} に対して定義されるため、∏ᵢ₌₁ⁿ Aᵢ や ∏ᵢ∈I Aᵢ のように添字の範囲を明示するのが正確です。しかし、文脈から明らかな場合は、∏ Aᵢ や ⨉ Aᵢ のように省略されることもあります。特に、同じ集合 A の直積 A × A × ... × A は、Aⁿ, A×ⁿ, n⨉A などと書かれます。

直積集合の例

トランプのカード

トランプのカードは、直積集合のわかりやすい例です。ランク（A, K, Q, J, 10, ..., 2）の集合と、スート（♠, ♥, ♦, ♣）の集合の直積をとると、52枚のトランプのカードに対応する順序対の集合が得られます。

例えば、ランク × スート は {(A, ♠), (A, ♥), (A, ♦), (A, ♣), ..., (2, ♣)} という集合になり、スート × ランク は {(♠, A), (♠, K), ..., (♣, 2)} という集合になります。

2次元直交座標系

解析幾何学における直交座標系も、直積の重要な例です。平面上の各点は、実数の組 (x, y) で表現できます。この実数の組の集合、つまり ℝ × ℝ は、平面上の全ての点の集合に対応します。

直積の一般化

有限直積

n 個の集合 A₁, ..., Aₙ に対する直積集合は、次のように定義されます。

math
\prod_{i=1}^{n} A_i = A_1 \times A_2 \times \dotsb \times A_n := \{(a_1, \dots, a_n) \mid a_1 \in A_1 \land \dots \land a_n \in A_n\}


ここで、(a₁, ..., aₙ) は a₁, ..., aₙ の順序付けられた n-組です。

任意濃度の直積

必ずしも有限でない集合 Λ で添字付けられる集合の族 {Aλ}λ∈Λ の直積は、写像の集合として定義されます。すなわち、

math
\{a : \Lambda \to \mathbf{A} \mid a(\lambda) \in A_\lambda, \forall \lambda \in \Lambda\} \subset \operatorname{Map}(\Lambda, \mathbf{A})


ここで、A := ∪(λ∈Λ) Aλ であり、これは元の族 (aλ)λ∈Λ の集合として、次のように書くこともできます。

math
\prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda = \{(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \mid a_\lambda \in A_\lambda, \forall \lambda \in \Lambda\}


Λ が有限の場合は、先に述べた有限直積と一致します。

標準射影

直積 ∏(λ∈Λ) Aλ に対して、各 Aλ を直積因子と呼びます。各直積因子 Aμ (μ ∈ Λ) に対して、標準的に定まる全射 πμ : ∏(λ∈Λ) Aλ → Aμ を第 μ-成分への射影と呼びます。

math
\pi_\mu \colon \prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda \to A_\mu; \;(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \mapsto a_\mu

デカルト冪

集合 A に対し、それ自身の直積として得られる集合 A × A, A², ... をデカルト冪と呼びます。n-乗デカルト冪は、次のように定義されます。

math
A^n := \prod_{i=1}^{n} A = \overbrace{A \times A \times \cdots \times A}^{n} = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \in A, \forall i=1, \dots, n\}


一般的な添字集合 Λ に対しては、次のようになります。

math
A^{\Lambda} := \prod_{\lambda \in \Lambda} A = \{(a_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} \mid a_\lambda \in A\} = \operatorname{Map}(\Lambda, A)


これは、Λ から A への写像全体のなす集合です。

直積の性質

集合算との関係

直積は、集合の交叉に関して良好な性質を持ちます。

math
(A \cap B) \times (C \cap D) = (A \times C) \cap (B \times D)


しかし、合併に関しては一般的に成り立ちません。

直積は、差集合に対しては次のような関係を持ちます。

math
(A \times C) \setminus (B \times D) = [A \times (C \setminus D)] \cup [(A \setminus B) \times C]


直積は、いくつかの集合算に対して分配的です。

濃度

有限集合 A, B の直積 A × B の濃度は、|A × B| = |A| ⋅ |B| で与えられます。一般に、|∏Aλ| = ∏|Aλ| が成り立ちます。

普遍性

直積は、次のような普遍性を持つものとして特徴づけられます。

任意の集合 Y と写像の族 (fi: Y → Xi)ᵢ∈I が与えられたとき、写像 f: Y → ∏(i∈I) Xi で fi = πi ∘ f を満たすものがただ一つ存在します。

写像の直積

写像 f: A → X, g: B → Y が与えられたとき、直積集合 A × B から X × Y への写像 f × g は、(f × g)(a, b) := (f(a), g(b)) で定義されます。

まとめ

集合の直積は、複数の集合の要素を組み合わせることで新しい集合を構成する重要な概念です。その定義、記法、例、性質を理解することで、数学的な構造をより深く理解することができます。様々な分野で応用されるため、数学を学ぶ上で不可欠な知識と言えるでしょう。

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