カール・メンガー (数学者)

カール・メンガーは、20世紀にオーストリアとアメリカ合衆国で活躍した傑出した数学者です。1902年1月13日に生まれ、1985年10月5日にその生涯を終えました。彼は経済学の著名な学者であるカール・メンガーの息子にあたります。

メンガーの研究領域は多岐にわたり、代数学、曲線や次元の理論、そして幾何学を中心としながらも、ゲーム理論や社会科学といった分野にも重要な足跡を残しました。

ウィーン大学で数学者ハンス・ハーンに師事し、1924年に同大学から博士号を取得しました。その後、ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワーの招きを受けて一時アムステルダム大学で教鞭をとりますが、1925年にはウィーンに戻り、1928年には教授の職に就きました。

ウィーン滞在中、1928年から1936年にかけて、メンガーは非公式ながらも影響力のある数学コロキウムを主催しました。ここには、G.C.エヴァンズ、カール・シュレジンガー、オスカー・モルゲンシュテルン、エイブラハム・ウォールド、ジョン・フォン・ノイマンといったそうそうたる顔ぶれに加え、日本の数学者である三村征雄、経済学者の水谷一雄、山田雄三らも参加しました。ノーベル賞受賞者であるクルト・ゲーデルは、メンガーの教え子の一人として知られています。

1920年代には、社会科学や哲学を主な論点として活動していたウィーン学団にも積極的に関わりました。この時期、彼は経済学における効用理論を応用し、サンクトペテルブルクのパラドックスに関する重要な成果を発表しました。また、オスカー・モルゲンシュテルンとの共同研究を通じて、後のゲーム理論の発展にも寄与しています。

1937年、メンガーはアメリカ合衆国に移り、ノートルダム大学で1946年まで教授を務めました。その後、1946年から1971年までシカゴにあるイリノイ工科大学で教鞭をとり、一時期はデューク大学でも教壇に立ちました。

メンガーの数学における最もよく知られた業績の一つに、メンガーのスポンジがあります。これは、フラクタル図形として知られるシェルピンスキーのカーペットを3次元に拡張したもので、やはりフラクタルであるカントール集合とも深い関連を持っています。

また、彼は数学者アーサー・ケイリーと共に、距離幾何学という分野の基礎を築いた人物とされています。特に、直接測定可能な物理量（例えば距離の比率）を用いて、角度や曲率といった幾何学的な概念を厳密に定義する定式化を行いました。これらの定義に用いられる特殊な行列式は、現在ケイリー＝メンガー行列式と呼ばれています。

グラフ理論における連結性に関するメンガーの定理にも、彼の名が冠されています。

さらに、先述の通り、経済学の効用理論をサンクトペテルブルクのパラドックスに応用した研究や、オスカー・モルゲンシュテルンとの共同によるゲーム理論への貢献も、彼の重要な業績として挙げられます。

カール・メンガーは、その広範な研究領域と多岐にわたる業績を通じて、20世紀の数学、そして関連する他の科学分野にも大きな影響を与えました。

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