シェルピンスキーのカーペット

シェルピンスキーのカーペットは、ポーランドの数学者ヴァツワフ・シェルピンスキが1919年に提唱した平面フラクタルの一種です。これは有名なカントール集合を2次元の平面へと拡張したものと見なされており、カントールの塵と呼ばれる概念とも関連性があります。

構築方法

この特異な図形は、非常にシンプルな再帰的なプロセスを経て生成されます。まず、任意の大きさの正方形を一つ用意し、これを開始点とします。次に、この正方形の各辺を三等分し、元の正方形を合計九つのより小さな合同な正方形に分割します。ここで、中心に位置する一つの小正方形を取り除きます。残るのは、元の正方形の四隅と各辺の中央に位置する合計八つの小正方形です。シェルピンスキーのカーペットは、この「九つに分割し、中央を取り除く」という操作を残った八つの小正方形のそれぞれに対し、無限に繰り返すことによって得られる極限の図形として定義されます。

数学的性質

シェルピンスキーのカーペットは、その構築方法から興味深い数学的性質を示します。まず、そのハウスドルフ次元は約1.8928（正確にはlog 8 / log 3）となります。これは、通常の平面図形（次元2）とは異なり、また線（次元1）とも異なる、フラクタルならではの非整数の次元を示しています。また、標準的なルベーグ測度でその面積を測定すると、無限に中央部分を取り除いていくプロセスにより、最終的な面積はゼロになることが示されています。つまり、見た目は広がりを持った図形でありながら、数学的には「中身がない」極めて疎な構造と言えます。

さらに、シェルピンスキーはこのフラクタルが「ユニバーサル曲線」であることを証明しました。これは、2次元平面上に描かれた任意の1次元のグラフが、このシェルピンスキーのカーペットの何らかの部分集合に対して位相同型、つまり連続的に変形して一致させられるという意味を持ちます。自己交差を持たずに2次元表面に埋め込み可能な曲線に対して、シェルピンスキーのカーペットがまさにそのユニバーサル曲線としての役割を果たすのです。なお、自己交差を含むようなより複雑な曲線を含む高次元の対応物としては、メンガーのスポンジが存在します。

応用と研究

シェルピンスキーのカーペットの構築に用いられる分割と除去の技法は、正方形だけでなく、三角形や六角形といった他の平面充填可能な多角形に対しても応用することが可能です。ただし、一般的には平面充填以外の構造への直接的な応用は難しいとされています。

近年、この図形上の物理現象、特にブラウン運動（ランダムウォーク）に関する研究が活発に行われています。例えば、数学者のMartin BarlowとRichard Bassは、シェルピンスキーのカーペット上のランダムウォークが、ユークリッド平面上でのランダムウォークと比較して拡散速度が著しく遅いことを示しました。平面上でnステップ後の平均距離が約√nに比例するのに対し、カーペット上ではn^(1/β)に比例し、ここでβは2より大きな値となります。彼らの研究はまた、このカーペット上のランダムウォークがある種の確率的不等式（強い大偏差不等式や楕円ハルナック不等式）を満たす一方で、別の重要な不等式（放物線ハルナック不等式）は満たさないという、長年の未解決問題に対する具体的な反例を提供するものでした。

シェルピンスキーのカーペットは、数学の純粋な探求から始まり、フラクタル幾何学、位相空間論、確率論といった様々な分野を結びつける興味深い研究対象となっています。そのシンプルな定義からは想像もつかないほど豊かな数学的性質を秘めた図形と言えるでしょう。

シェルピンスキーのカーペット