代数的整数

代数的整数：数の世界の新たな整数たち

数学、特に数論において、代数的整数という概念は、整数の概念を拡張した重要なものです。通常の整数に加え、より広範な数の集合を捉えることで、数論の研究に新たな視点をもたらします。この記事では、代数的整数の定義、性質、そして関連する概念について詳しく解説します。

代数的整数の定義

代数的整数とは、整数係数のモニック多項式（最高次数の係数が1である多項式）の根となる複素数のことです。簡単に言えば、ある整数係数のモニック多項式に代入したときに、その多項式の値が0になるような複素数です。例えば、2の平方根√2は、x² - 2 = 0というモニック多項式の根なので、代数的整数です。同様に、-1の平方根iも代数的整数です。

代数的整数の集合は、加法と乗法について閉じている、つまり、2つの代数的整数の和、差、積もまた代数的整数になります。この性質は、代数的整数が整数の持つ重要な性質を受け継いでいることを示しています。ただし、商は必ずしも代数的整数になるとは限りません。

代数的整数の同値な定義

代数的整数αが満たすべき条件は、いくつか同値な形で表現できます。Kを代数体（有理数体の有限次拡大）とするとき、αが代数的整数であるための条件は次の通りです。

1. αを根とするモニック多項式f(x) ∈ Z[x] が存在する。（Z[x]は整数係数の多項式全体の集合）
2. αのQ上での最小多項式が、整数係数のモニック多項式である。
3. Z[α]（αを係数とする整数係数の多項式全体の集合）が有限生成Z-加群である。（有限個の元で生成できる加群）
4. αM ⊆ Mを満たす、0でない有限生成Z-部分加群M ⊂ Cが存在する。（Cは複素数体）

これらの条件は互いに同値であり、いずれかを満たせばαは代数的整数であると言えるのです。

代数的整数の例と反例

すべての有理数のうち、代数的整数であるのは有理整数のみです。例えば、分数a/b（bがaを割り切らない）は代数的整数ではありません。

二次体Q(√d)（dは平方因子を持たない整数）の整数環は、√dを含むだけでなく、d≡1 (mod 4)のときには(1+√d)/2も含まれます。

円分体Q(ζn)（ζnは1の原始n乗根）の整数環はZ[ζn]となります。

モニックでない整数係数多項式の根は、一般的には代数的整数ではありません。

代数的整数の性質

代数的整数の集合は、いくつかの重要な性質を持ちます。

加法、減法、乗法の閉鎖性: 二つの代数的整数の和、差、積は再び代数的整数となります。
整閉性: 代数的整数を係数とするモニック多項式の根は、全て代数的整数です。
* ベズー整域: 代数的整数環は、単項イデアル定理によりベズー整域となります。

これらの性質は、代数的整数の集合が、通常の整数の集合と同様に、代数的な構造を持つことを示しています。

関連する概念

代数的整数の概念は、数論における様々な概念と密接に関連しています。例えば、ガウス整数、アイゼンシュタイン整数、代数的数などは、代数的整数の特別な場合や、それに関連する重要な概念です。また、代数的整数の研究は、ディリクレの単数定理、基本単数といった重要な定理の証明にも繋がります。

まとめ

代数的整数という概念は、整数の概念を拡張し、数論の研究を大きく発展させました。その定義、性質、そして関連する概念を理解することで、数の世界の奥深さをより深く探求することができるでしょう。本稿が、代数的整数の理解の一助となれば幸いです。

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