微分積分学の基本定理

微分積分学の基本定理：微分と積分の関係

微分積分学の基本定理は、微分と積分が互いに逆の演算であることを示す解析学における重要な定理です。この定理は、微分法（接線法）と積分法（求積法）を統一し、解析学の発展に大きく貢献しました。

歴史

17世紀、アイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツは、それぞれ独立に微分積分学の基本定理を発見しました。ニュートンは1665年頃、ライプニッツは1675年頃に発見したとされています。ニュートンは当初、この成果を発表しませんでしたが、ライプニッツが先に公表したため、両者の間で優先権を巡る論争が勃発しました。

定理

微分積分学の基本定理には、いくつかのバリエーションが存在します。主なものは以下の2つです。

1. 微分積分学の第一基本定理（連続関数の不定積分の微分可能性）

この定理は、連続関数f(x)の不定積分F(x)を以下のように定義するとき、F(x)は微分可能であり、その導関数は元の関数f(x)に等しいことを述べています。

$$F(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$$

$$F'(x) = f(x)$$

言い換えれば、関数を積分してから微分すると、元の関数に戻ることが分かります。

証明の概略

まず、F(x)を上記のように定義します。x1とx1+Δxを閉区間[a,b]内の任意の2数とすると、

$$F(x1 + Δx) - F(x1) = \int_{x1}^{x1+Δx} f(t)dt$$

となります。積分の平均値の定理を用いると、あるc∈[x1, x1+Δx]が存在して、

$$\int_{x1}^{x1+Δx} f(t)dt = f(c)Δx$$

となります。よって、

$$\frac{F(x1 + Δx) - F(x1)}{Δx} = f(c)$$

となり、Δx→0の極限をとると、fの連続性と挟み撃ちの原理により、

$$F'(x1) = f(x1)$$

が得られます。

2. 微分積分学の第二基本定理（導関数の定積分）

この定理は、関数f(x)の原始関数F(x)が存在するとき、aからbまでのf(x)の定積分が、F(b)-F(a)に等しいことを述べています。

$$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$$

これは、定積分を原始関数の差として計算できることを意味します。第二基本定理は、積分可能な関数であれば不連続な関数に対しても成り立ちます。連続関数の場合の系は「微分積分学の基本公式」と呼ばれます。

一般化

微分積分学の基本定理は、高次元に一般化されます。最も重要な一般化はストークスの定理です。ストークスの定理は、積分と微分の関係を多変数関数や多様体上に拡張した定理で、ベクトル解析や微分幾何学において重要な役割を果たします。第一基本定理については、関数の連続性を弱める拡張も存在し、ルベーグ積分やヘンストック＝クルツヴァイル積分においても同様の定理が成り立ちます。第二基本定理についても、絶対連続関数に関する拡張などが知られています。

その他

テイラーの定理の剰余項を積分形で表すバージョンも、微分積分学の基本定理の一般化と見なすことができます。また、複素関数に対する線積分についても同様の定理が成り立ちます。

まとめ

微分積分学の基本定理は、微分と積分の関係を明らかにする重要な定理です。その証明と様々な一般化は、解析学の基礎を成しており、数学の多くの分野で応用されています。

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