ガロア拡大での素イデアルの分解

はじめに

数学の世界において、代数体のガロア拡大とそのガロア群は重要な研究対象です。特に、ガロア拡大における素イデアルの分解については、豊かな理論が構築されています。この現象は、ダフィット・ヒルベルトによって発展し、ヒルベルトの理論と呼ばれています。本稿では、代数的整数論における素イデアルの分解およびその関連性について解説します。

代数体と整数環の定義

まず、代数体 L/K を考えます。ここで、L および K はそれぞれ数体の有限次拡大としており、B と A はそれぞれ L と K に対応する整数環として定義されます。整数環は、各体における整数環 Z の整閉包とされるため、次のような絡み合った構造を持ちます。

```plaintext
A ↪ B
↓ ↓
K ↪ L
```

ここで、整数環 A のゼロでない素イデアル p を考慮します。同様に、極大イデアルとしても考えることができ、設定において剰余環 A/p が体となります。この場合、クルル次元が 1 の環における基本理論に基づき、p により生成される B のイデアル pB は、次のように一意に分解されます。

```plaintext
pB = ∏ Pj^e(j)
```

ここで、重複度 e(j) は p における拡大の分岐指数と呼ばれ、全ての重複度が 1 であれば、体の拡大 L/K は不分岐とされます。この状態では、中国の剰余定理を用いて、商 B/pB が体 F_j = B/P_j の積となります。

ガロア拡大における素イデアルの分解

次に、拡大 L/K がガロア拡大である場合を考えます。このとき、ガロア群 G は P_j 上に推移的に作用するため、L の素イデアル要素は K 上の自己同型のもとで唯一の軌道を形成します。これは、素イデアル分解の一意性と関連性が高く、分解群の階層構造とも結びついています。基本的な関係式は次のようになります。

```plaintext
pB = (∏ Pj)^{e}
```

この式はガロア群の性質と密接に関わっており、拡大がガロア的でない場合には必ずしも成立しません。

不分岐と惰性

与えられた体の拡大では、不分岐な点は有限個しか存在しません。不分岐の場合には、ガロア群の作用の横断性により、体 F_j が全て同型に成ります。有限体 F' を含むことが可能で、素因子の数はガロア群の位数や分解群の位数に関連しています。

特別なケースの考察

ここでは具体例として、ガウスの整数における素イデアルの分解を取り上げます。K = Q、L = Q(i) と設定し、具体的な素数 p に対する分解を考察します。特に p = 2 のケースでは、分岐指数は e = 2 となります。この場合、元が 2 つの有限群が形成され、リンクする惰性群は G 全体となります。

しかし、他の素数（p ≡ 1 mod 4 や p ≡ 3 mod 4）の場合も扱い、分解群や惰性群の挙動が異なる理由や構造も論じます。これにより、各場合におけるガロア拡大の特徴と素イデアルの分解を理解する手助けとなります。

総括

整数環における素イデアルの分解について、ガロア拡大の枠組みで多角的に考察しました。ガロア理論の枠内での素イデアル分解は、抽象的な数論の側面を理解する上で重要な要素になります。特に、分解の過程、新たな群の生成およびその数理的特性の探索は、今後の研究においても重要なトピックであるでしょう。

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