ガロア群

ガロア群とは

ガロア群（英：Galois Group）は、代数方程式や体の拡大を基に定義される群であり、この概念はフランスの数学者エヴァリスト・ガロアにちなんで名付けられました。ガロア群は、数学の様々な現象を理解するための強力な道具として、特にガロア理論において中心的な役割を果たしています。ガロア理論は、ある代数問題を群論の観点から解析する学問分野です。

ガロア群の定義

体の拡大のガロア群

体 F の拡大体 E を考えた場合、E/F の自己同型を F の元を不変に保つ E の自己同型として定義します。この全ての自己同型は群を成すため、これらを 'Aut(E/F)' と呼びます。もし E/F がガロア拡大であれば、'Aut(E/F)' は E/F のガロア群として 'Gal(E/F)' により示されます。一方、E/F がガロア拡大でない場合には、E のガロア閉包 G に対する自己同型群 'Aut(G/F)' をガロア群と呼ぶこともあります。

多項式のガロア群

体 E が多項式 f の F 上の分解体である場合、'Gal(E/F)' は f の F 上のガロア群と呼ばれます。このように、ガロア群は主に体の拡大や多項式と密接に関連しています。

ガロア群の例

以下にいくつかの具体例を挙げます。

1. 自明な群: Gal(F/F) は恒等写像のみから成る群です。
2. 複素数と実数の群: Gal(C/R) は恒等写像と複素共役写像の2つの元からなる群です。
3. 有理数と実数の群: Aut(R/Q) は自明な群であり、実数の自己同型は順序を保つため必然的に恒等写像となります。
4. 無限群: Aut(C/Q) は無限群であることが知られています。
5. ガロア群の具体例: Gal(Q(√2)/Q) は恒等写像および√2と-√2を入れ替える写像から成り立っています。
6. 体の非正規性: K = Q(3√2) の場合、Aut(K/Q) は自明な群になります。これは K が正規拡大でないからです。
7. 3次の拡大: ω を1の3乗根とした時、L = Q(3√2, ω) は多項式 x^3 - 2 の Q 上の分解体であり、このガロア群は3次の置換群 S3 と同型です。
8. 有限体の場合: q を素数の累乗とし、F と E がそれぞれ位数 q と位数 qn の有限体である場合、Gal(E/F) は位数 n の巡回群となります。
9. 代数方程式の可解性: f が p 次の有理係数既約多項式で、実数でない解をちょうど2つ持つならば、f のガロア群は p 次の置換群 Sp に等しいです。

性質と理論

ガロア理論の基本定理によれば、体 L を体 K の有限次ガロア拡大とした場合、L と K の中間体 M と部分群 H について、次の関係が成り立ちます。これは M の中に H の元が不変であるものを含む L の部分拡大を見つけることに関連しています。また、M1 ⊃ M2 の場合は、対応する部分群に対しても包含関係が成立します。

さらに重要なことには、標数0の体上では、代数方程式が四則演算やべき根で解けることと、その方程式のガロア群が可解群であることが同値であることが示されています。これにより、5次以上の代数方程式には一般的な解法が存在しないことが実証されます。

まとめ

ガロア群とガロア理論は、代数方程式や体の構造を深く理解するための枠組みを提供します。これにより、数学の様々な問題を解決するための有力な方法が開発されており、数理的な探求の基礎となっています。

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