キャッソン不変量

キャッソン不変量

キャッソン不変量は、幾何学的トポロジーの重要な概念であり、アンドリュー・キャッソンによって導入されました。この不変量は、向き付け可能な整数ホモロジー3-球面に関連した整数値の不変量です。

定義

キャッソン不変量は、すべての向き付け可能な整数ホモロジー3-球面から整数$
Z$
への全射写像$
λ
$であり、以下の性質を満たします。

1. $
λ(S^3) = 0$。
2. 任意の整数ホモロジー3-球面$
Σ$
に対し、任意の結び目$
K$
と整数$
n$に対して、

$$
λ(Σ + rac{1}{n+1} K) - λ(Σ + rac{1}{n} K)$$

は$
n$に独立です。

この不変量にはさらに多くの性質が存在し、例えば、三葉結び目に関する特性や、ポアンカレホモロジー球面のキャッソン不変量が1または-1になることが知られています。また、向き付けを逆にするとキャッソン不変量の符号も変わります。さらに、この不変量はホモロジー3-球面の連結和に対し加法的であり、フレアーホモロジーのオイラー特性類の一種と見なすことができます。

性質

キャッソン不変量にはいくつかのプロパティがあります。まず、三葉結び目$
K$
に対する関係式から、$
λ(Σ + rac{1}{n+1} K) - λ(Σ + rac{1}{n} K) = ±1$なる性質が導かれます。このことにより、キャッソン不変量は三葉結び目に対して明確な値（$±1$）を持つことが示されています。

また、キャッソン不変量を用いることで、非公式に「ホモロジー3-球面の基本群の表現の共役類の数の半分」と解釈することができます。具体的には、キャッソン不変量は、$
M
$というコンパクトな向き付けられた3-多様体から導かれる表現空間$
R(M)
$に関連付けられます。

一般化

キャッソン不変量はケルビン・ウォーカーにより有理ホモロジー3-球面への拡張がなされ、キャッソン・ウォーカー不変量として知られるようになりました。この不変量は向き付けられた有理ホモロジー3-球面から有理数の値をとる全射写像として定義され、いくつかの性質があります。また、クリスティーヌ・レスコップによって、キャッソン・ウォーカー不変量はすべての閉じた向き付けられた3-多様体へと拡張されました。

キャッソン・ウォーカー・レスコップ不変量には、特に第一ベッチ数の値によって異なる振る舞いを示すという特徴があります。具体的には、第一ベッチ数が偶数の場合は符号が変化しますが、奇数の場合はその値が変わらないことが知られています。

参考文献

キャッソン不変量に関する詳細な理論やその応用については、さまざまな文献が参照されています。特に、S. AkbulutとJ. McCarthyの著作は、キャッソン不変量に関する詳細な解説を提供しています。また、他にも多くの研究がこの分野で行われ、キャッソン不変量の理解が深まっています。

このように、キャッソン不変量は数学において重要な役割を果たし続けており、今後の研究にも期待が寄せられています。

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