連結和

連結和とは

トポロジーにおいて、連結和（connected sum）とは、2つ以上の多様体を特定のルールに従って結合させ、新しい多様体を生成する操作のことです。この操作は、多様体の幾何学的構造を理解する上で非常に重要であり、特に閉曲面の分類において重要な役割を果たします。

点での連結和

2つのm次元多様体の連結和は、各多様体からm次元の球を取り除き、その境界として現れる球面同士を貼り合わせることで得られます。この際、多様体が向き付け可能であれば、貼り合わせる際の向きを反対にすることで、一意な連結和が定義されます。

この操作は、取り除く球の選び方によらず、結果として得られる多様体は同相となります。滑らかな多様体の場合も同様ですが、貼り合わせる境界の微分同相写像によっては、結果が異なるエキゾチック球面になることもあります。しかし、標準的な貼り合わせ方法を用いることで、連結和を一意に定義できます。

連結和の操作は「#」で表されます。例えば、AとBの連結和はA#Bと記述します。

連結和の性質として、多様体Mとm次元球面Smの連結和は、Mと同相（または微分同相）になります。つまり、M#Sm は M となります。また、閉曲面の分類において、任意の閉曲面は球面といくつかのトーラス、そしていくつかの実射影平面の連結和として表現できます。

部分多様体に沿った連結和

点での連結和を一般化すると、部分多様体に沿って多様体を張り合わせることができます。これはファイバー和とも呼ばれます。

二つの同次元の向き付けられた多様体M1とM2があり、Vがそれらの部分多様体として埋め込まれているとします。このとき、Vの法バンドル間に向きを保つ同型写像が存在すれば、M1とM2をVに沿って貼り合わせることができます。この操作により、新しい多様体が得られます。ここで、法バンドルとは、多様体のある点における接空間に直交する空間の集まりのことです。

部分多様体Vに沿った連結和は、各々のVの法線方向のファイバーに沿った連結和と考えることができ、ファイバー和とも呼ばれる理由です。この操作の結果は、埋め込み方と選択した同型写像に依存します。特に、Vが点の場合、点での連結和を再現できます。

余次元2の部分多様体に沿った連結和

特に重要なケースとして、部分多様体Vの次元が多様体Miの次元より2小さい場合があります。このとき、Vの法バンドルのオイラー類が反対符号であっても、法バンドル間の同型写像が存在することがあります。

この場合、法バンドルの構造群は円群SO(2)となります。埋め込みの選択は、Vから円への写像のホモトピークラスと同一視でき、これは一次の整数係数コホモロジー群H1(V)と同値です。そのため、和の微分同相のタイプは、同型写像とH1(V)の元の選択に依存します。

余次元2のVに沿った連結和は、シンプレクティック多様体の圏でも考えることができ、シンプレクティック和と呼ばれます。

局所作用素としての連結和

連結和は、多様体に対する局所的な操作です。つまり、連結和を行う部分は、Vの近傍に限られます。したがって、Vと共通部分を持たない複数の部分で、連結和を同時に行うことも可能です。例えば、2つの異なる点で2つの球面を張り合わせると、2つのトーラスが生成されます。

結び目の連結和

結び目の連結和は、多様体の連結和と密接な関係があります。結び目を1次元多様体と考えると、2つの結び目の連結和は1次元多様体の連結和とみなせます。しかし、結び目の本質は、多様体としての構造ではなく、空間への埋め込み方にあります。

結び目の連結和を定義するためには、以下の手順を踏みます。
1. 2つの結び目の平面への射影を描き、それらが交わらないように配置します。
2. それぞれの結び目の弧の一部を対辺とするような長方形を平面上で探します。
3. 長方形の対辺の結び目の弧を切り取り、残りの部分をつなぎ合わせることで、新しい結び目を作成します。

この操作で得られる結び目は、もとの2つの結び目の連結和（または結び目和、合成）と呼ばれます。結び目の連結和は、向き付けられた3次元空間内の結び目に対して定義され、結果として得られる周囲のイソトピークラスは、元の2つの結び目の周囲のイソトピーに依存します。

この操作により、向き付けられた結び目は、一意な素因数分解を持つ可換なモノイドを形成します。単位元は自明な結び目であり、素結び目の概念も定義できます。

注意点

3次元空間では、自明な結び目は、2つの非自明な結び目の連結和としては表せません。これは、結び目種数の加法性から導き出されます。高次元においては、2つの非自明な結び目の和が非自明になるケースも存在します。

結び目の向きを考慮しない場合、連結和の操作は、イソトピークラス上でうまく定義できません。なぜなら、異なる向きの結び目同士の連結和は、異なる同値類に属する可能性があるからです。

関連事項

バンド和
3次元多様体の素な分解
多様体の分解
サテライト結び目

参考文献

Robert Gompf: A new construction of symplectic manifolds, Annals of Mathematics 142 (1995), 527–595
William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X.

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