クローソン点

クローソン点

クローソン点（英: Clawson point）は、ユークリッド幾何学において、三角形が持つ様々な「中心」と呼ばれる特異点の中でも特徴的な一つです。三角形ABCの各頂点における内角をそれぞれα、β、γとしたとき、この点は三線座標（三角形の各辺からの距離の比で点を特定する方法）を用いると、tan α : tan β : tan γ という簡潔な比で表されます。三角形の中心を体系的にまとめたクラーク・キンバーリング氏の「Encyclopedia of Triangle Centers（三角形の中心百科事典）」には、X(19)番目の中心として登録されています。

このクローソン点の定義は複数の方法で記述されており、いずれも元の三角形と、それに関連して構築される別の三角形との幾何学的な関係性に基づいています。代表的な二つの定義方法を以下に示します。

定義方法

1. 相似の中心として

三角形ABCに対して、その垂足三角形、すなわち各頂点から対辺に下ろした垂線の足が作る三角形を△HAHBHCとします。また、三角形ABCの三つの傍接円にそれぞれ接し、かつ元の三角形の辺とは異なる向きに引かれる三つの共通接線によって形作られる三角形を△TATBTCとします（この三角形は「Extangents Triangle」とも呼ばれます）。

興味深いことに、この垂足三角形△HAHBHCと△TATBTCは互いに相似な関係にあります。クローソン点は、これら二つの相似な三角形の「相似の中心」として定義されます。相似の中心とは、一方の三角形の各頂点と、他方の三角形のそれに対応する頂点を結んだ直線が全て一点で交わる、その交点のことです。したがって、頂点TAとHA、TBとHB、TCとHCをそれぞれ結んだ三本の直線は、クローソン点において必ず交わります。

2. 配景の中心として

もう一つの定義は、三角形ABCの傍接円と外接円の関係に基づいています。三角形ABCの三つの傍接円それぞれと、三角形の外接円は、それぞれ二つの交点を持ちます。これらの三組の交点をそれぞれ通るように引かれる三本の直線は、新たな三角形△A'B'C'を形成します（この△A'B'C'は「Ayme triangle」として知られています）。

クローソン点は、元の三角形ABCと、このようにして得られた△A'B'C'との「配景の中心」として定義されます。配景の中心とは、二つの三角形の対応する頂点同士、例えばAとA'、BとB'、CとC'をそれぞれ結んだ三本の直線が全て一点で交わる、その交点のことです。つまり、AA'、BB'、CC'を結んだ直線は、クローソン点において一点で交わります。

歴史的背景

クローソン点は、その名前が示すように、1925年にアメリカの数学者ジョン・ウェントワース・クローソン（John Wentworth Clawson）によって、数学雑誌『The American Mathematical Monthly』に発表された問題の中で幾何的な定義が提示されたことに由来します。しかし、この点の存在自体は、それよりもかなり古い時代に既に知られていました。

具体的には、フランスの数学者エミール・ルモワーヌ（Émile Lemoine）が、1886年には既に独立にこの点を発見していた記録があります。

さらに、時代は下り1983年、イギリスの数学者R. Lyness氏とオランダの数学者G.R. Veldkamp氏が、カナダの数学雑誌『Crux Mathematicorum』に掲載された問題を通じて、再び独立にこの点を発見しました。この再発見の経緯から、クローソン点は「Crucial Point（決定的な点、重要な点）」という別名でも呼ばれることがあります。

このように、クローソン点は複数の数学者によって異なる時代、異なる文脈で繰り返し発見されたというユニークな歴史を持つ点で、ユークリッド幾何学における多様な幾何学的構成が結びつく興味深い例と言えるでしょう。

参考文献

Weisstein, Eric W. "Clawson Point". mathworld.wolfram.com.
CLAWSON POINT at the Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)
LE POINT CLAWSON PAR LES TRIANGLES ORTHIQUES ET EXTANGENT
Clawson Point: Orthic Triangle, Extangents Triangle, Homothecy or Homothety

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