グラム行列

グラム行列の概要

線形代数学において、正方行列 {oldsymbol {A}} に対するグラム行列は、{oldsymbol {A}} の随伴行列 {oldsymbol {A}}^{} と {oldsymbol {A}} の積として定義されます。具体的には、グラム行列 {oldsymbol {G}} は次のように表されます。

$$
{oldsymbol {G}} = {oldsymbol {A}}^{} {oldsymbol {A}}.
$$

この重要な定義は、様々な数学的理論や解析において役立つ基盤となります。正方行列 {oldsymbol {A}} がベクトルの集合を持つときには、そのグラム行列の ({ij}) 成分は、{oldsymbol {C}}^{n} における標準内積として捉えることができます。これは以下の式で示されます。

$$
G_{ij} = {⟨a_{i}, a_{j}⟩}.
$$

ここで、{oldsymbol {a}}_{i} と {oldsymbol {a}}_{j} はベクトルのイメージであり、内積はこれらのベクトルがどれだけ相互に関連しているかを示します。

グラム行列の性質

グラム行列は通常、半正定値エルミート行列として知られています。この性質は、グラム行列が持つ特性の一部を物語っています。特に、以下の3つの条件は相互に関連しており、同時に成立することができます。
1. 正方行列 {oldsymbol {A}} が正則行列である。
2. グラム行列 {oldsymbol {G}} が正則行列である。
3. グラム行列 {oldsymbol {G}} が正定値エルミート行列である。

これらの条件は、行列の特性を理解し、それがどのように働くかを明らかにするのに重要です。

内積空間との関連

与えられた n 個のベクトル {oldsymbol {x}}_{1}, ..., {oldsymbol {x}}_{n} に対しても、グラム行列が形成されます。この場合、グラム行列の ({ij}) 成分は、次のように表されます。

$$
G_{ij} = {⟨x_{i}, x_{j}⟩}.
$$

この表記は、グラム行列が各ベクトルの間の内積を考慮していることを示しています。これにより、行列の特性をより深く理解するための道が開かれます。

結論

グラム行列は線形代数学において非常に重要な役割を果たしています。ベクトル間の内積を用いたこの行列の定義は、内積空間の特性を探る上で欠かせない道具です。また、その性質を理解することで、様々な数学的問題を解決するための明確な視覚を得ることができるのです。

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