グリフィス理論

グリフィス理論

グリフィス理論（Griffith's theory）またはグリフィスの条件（Griffith's criterion）は、破壊力学における基本的な理論であり、1921年にイギリスのアラン・アーノルド・グリフィスによって発表されました。この理論は、物体内部に存在するき裂の進展が、き裂面の新たな生成による表面エネルギーの増加よりも、物体内部に蓄えられたひずみエネルギーの解放が大きくなるときに起こることを示しています。

グリフィスの条件式

グリフィスは、最小ポテンシャルエネルギーの原理に基づき、き裂の成長に伴い、新たに形成される表面のポテンシャルエネルギーが最小である必要があると仮定しました。具体的には、解放されるひずみエネルギーと、増加する新しいき裂表面エネルギーが平衡を保つと考え、その結果、解放されるひずみエネルギーが表面エネルギーを上回るとき、き裂が成長すると定義します。この関係を表すのがグリフィスの条件です。

材料を線形弾性体として、横弾性係数をG、ポアソン比をν、長さを2aとするき裂を持つ無限板が、一様引張応力σを受ける場合を考えます。このとき、解放される弾性ひずみエネルギーUは以下のように表されます。

$$
U = \frac{3 - \kappa}{8G} \pi a^{2} \sigma^{2}
$$

ここで、κは次のように定義されます。

$$
\kappa = \frac{3 -
u}{1 +
u}
$$

材料の単位面積当たりの表面エネルギーをγとした場合、き裂の全表面エネルギーWは次のように表されます。

$$
W = 4a\gamma
$$

グリフィスの条件は次の式で表されます。

$$
\frac{dU}{da} \geq \frac{dW}{da}
$$

この条件にUとWを代入し整理することで、き裂成長に必要な応力σの条件が導かれます。

$$
\sigma \geq \frac{4}{\sqrt{3 - \kappa}} \sqrt{\frac{G \gamma}{\pi a}}
$$

弾性率を用いて、この式はさらに簡略化できます。

$$
\sigma \geq \sqrt{\frac{2 \gamma E'}{\pi a}}
$$

ここで、E'は材料の弾性係数に基づく修正値です。左辺の不等号はモードIの応力拡大係数KIに対応し、グリフィス理論は後に発展する破壊力学の基礎を築きました。

グリフィス・オロワン・アーウィンの条件

グリフィスの条件では素材が塑性変形しないことを前提にしていますが、実際には多くの材料でき裂先端周辺に塑性ひずみが発生します。こうした現象を考慮し、オロワンやアーウィンにより、グリフィスの条件が延性材料に対応できるよう拡張されました。この拡張はグリフィス・オロワン・アーウィンの条件と呼ばれ、き裂形成に必要なエネルギを有効表面エネルギΓを用いて表現します。

$$
\sigma \geq \sqrt{\frac{2\Gamma E'}{\pi a}}
$$

ここで、Γは表面エネルギーγに塑性ひずみエネルギγpを加えた値となります。さらに、Γがγpと同等である条件も考慮されます。

グリフィス理論は材料の破壊挙動を理解し、設計や材料選定に大きな影響を与える重要な理論です。グリフィス自身はガラスを用いた実験でこの理論の妥当性を確認し、以降の破壊力学の基盤を築きました。それにより、材料の破壊抵抗性を定量的に評価するための指標が整備され、現代の材料科学においても広く用いられています。

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