三次曲線
数学における三次曲線は、代数曲線の一種であり、以下のような3次の代数方程式によって定義されます。
$$ F(x,y,z) = 0 $$
ここで $(x:y:z)$ は射影平面上の斉次座標、あるいはアフィン空間で $z=1$ とした場合の座標を表します。$F$ は次数が3であるような斉次多項式、具体的には以下の10個の項
$$ x^3, y^3, z^3, x^2y, x^2z, y^2x, y^2z, z^2x, z^2y, xyz $$
の線形結合（少なくとも一つの係数はゼロではない）で与えられます。
これらの項は可換体K上で10個あるため、三次曲線全体は9次元の射影空間を形成します。三次曲線上の1点を通るという条件は、その曲線が満たすべき線形条件を一つ課すことになります。したがって、一般には9つの特定の点を通る三次曲線はただ一つに定まります。これは5つの点で決定される円錐曲線と比較して特筆される性質です。もし2つの三次曲線が9つの共通点を持つ場合、それらは特別な関係（束）を持ち、さらに詳細な性質（ケイリー＝バッハッラッハの定理など）が知られています。
三次曲線は、滑らかでない点である特異点を持つ場合と持たない場合（非特異三次曲線）があります。非特異三次曲線は、複素数体のような代数的閉体上では変曲点（接線がその点で曲線と3回交わるような点）をちょうど9つ持ちます。これは、三次曲線を定義する多項式のヘッセ行列を用いて示すことができます（ベズーの定理の一例）。ただし、これらの変曲点のうち、実射影平面上に存在するものは最大3つだけです。非特異三次曲線の9つの変曲点には、そのうちのどの2点を通る直線も必ずちょうど3つの変曲点を含む、という興味深い性質があります。
実射影平面上の非特異三次曲線は、その実点が1つまたは2つの連結成分（「オーバル」と呼ばれることもあります）で構成されることがニュートンによって研究されました。これらの成分のうち、射影直線と必ず交わる成分は、ユークリッド平面上で見たときには一つあるいは三つの無限に伸びる枝として現れ、実変曲点が含まれます。もう一つの成分は、存在するとしても変曲点を含まず、閉じているか、あるいは二つの無限枝として見えることがあります。
非特異三次曲線は楕円曲線とも深い関連があります。代数的閉体上では、非特異三次曲線は楕円曲線と等価になります。楕円曲線はしばしば、ワイエルシュトラス標準形と呼ばれる特定の形に変換して研究されますが、これは曲線上の特定の点が無限遠点として機能する場合に有効です。しかし、有理数体上の多くの三次曲線は、このような特別な点を持たないこともあります。
一方、特異点を持つ三次曲線は、その特異点の種類と数が限られています。特異三次曲線は、二次の代数曲線と一次の代数曲線（つまり直線）の組み合わせ、あるいは3つの直線の組み合わせとして「退化」して捉えることができます。この場合、特異点は二重点、尖点、または三重点として現れ、その数も制限されます。
幾何学において、特に三角形の研究に関連して現れる様々な興味深い三次曲線が存在します。△ABCの辺長を $a=|BC|, b=|CA|, c=|AB|$ とし、点の座標を表すのに三線座標や重心座標といった特殊な斉次座標が用いられます。これらの座標系の間には相互変換の関係があります。
多くの三角形に関連する三次曲線は、点の座標 $(x:y:z)$ と辺長 $(a,b,c)$ を引数とする関数 $f$ を用いて、以下のような巡回和の形式で表されることが多いです。
$$ \sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 $$
ここで $\sum_{\text{cyclic}}$ は、$(x,y,z)$ と $(a,b,c)$ をそれぞれ巡回的に置換しながら加え合わせることを意味します。また、点 $X=x:y:z$ に対し、その等角共役点 $X^$ は三線座標で $1/x:1/y:1/z$ と定義されます。
いくつかの代表的な三角形に関連する三次曲線を挙げます。
ノイベルグ三次曲線: 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を結ぶ直線 $XX^$ が、オイラー無限遠点を通る直線（オイラー線に平行）となるような点 $X$ の軌跡として定義されます。頂点、内心、傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点など、多くの有名な中心点を通ります。
17点三次曲線 (Thomson Cubic): 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を結ぶ直線 $XX^$ が、三角形の重心 $G$ を通るような点 $X$ の軌跡です。頂点、内心、傍心、重心、外心、垂心、類似重心、辺の中点といった点を含みます。
ダルブー三次曲線 (Darboux Cubic): 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を結ぶ直線 $XX^$ が、ド・ロンシャン点 $L$ を通るような点 $X$ の軌跡です。頂点、内心、傍心、外心、垂心、ド・ロンシャン点などを通過します。
ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線 (Napoleon-Feuerbach cubic): 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を結ぶ直線 $XX^$ が、九点円の中心 $N$ を通るような点 $X$ の軌跡です。頂点、内心、傍心、外心、垂心、ナポレオン点などがこの曲線上にあることが知られています。
リュカ三次曲線 (Lucas cubic): 点 $X$ のチェバ三角形がダルブー三次曲線上の点の垂足三角形となるような点 $X$ の軌跡として定義されます。頂点、反中点三角形の頂点、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点などを通過します。
第一ブロカール三次曲線: 点 $X$ を用いて定義される特定の3点が共線となるような点 $X$ の軌跡です。頂点、重心、類似重心、第一・第三ブロカール点の頂点、シュタイナー点などを通過します。
第二ブロカール三次曲線: 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を通る特定の直線がブロカール軸上にあるような点 $X$ の軌跡です。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点などがこの曲線上に見られます。
1st equal areas cubic: 点 $X$ のチェバ三角形と点 $X^*$ のチェバ三角形の面積が等しくなるような点 $X$ の軌跡です。内心、傍心、シュタイナー点、第一・第二ブロカール点などを通過します。
これらの三角形に関連する三次曲線は、それぞれが興味深い幾何学的性質や、三角形における様々な重要な点との関連性を持っており、現代幾何学の研究対象となっています。
$$ F(x,y,z) = 0 $$
ここで $(x:y:z)$ は射影平面上の斉次座標、あるいはアフィン空間で $z=1$ とした場合の座標を表します。$F$ は次数が3であるような斉次多項式、具体的には以下の10個の項
$$ x^3, y^3, z^3, x^2y, x^2z, y^2x, y^2z, z^2x, z^2y, xyz $$
の線形結合（少なくとも一つの係数はゼロではない）で与えられます。
これらの項は可換体K上で10個あるため、三次曲線全体は9次元の射影空間を形成します。三次曲線上の1点を通るという条件は、その曲線が満たすべき線形条件を一つ課すことになります。したがって、一般には9つの特定の点を通る三次曲線はただ一つに定まります。これは5つの点で決定される円錐曲線と比較して特筆される性質です。もし2つの三次曲線が9つの共通点を持つ場合、それらは特別な関係（束）を持ち、さらに詳細な性質（ケイリー＝バッハッラッハの定理など）が知られています。
三次曲線は、滑らかでない点である特異点を持つ場合と持たない場合（非特異三次曲線）があります。非特異三次曲線は、複素数体のような代数的閉体上では変曲点（接線がその点で曲線と3回交わるような点）をちょうど9つ持ちます。これは、三次曲線を定義する多項式のヘッセ行列を用いて示すことができます（ベズーの定理の一例）。ただし、これらの変曲点のうち、実射影平面上に存在するものは最大3つだけです。非特異三次曲線の9つの変曲点には、そのうちのどの2点を通る直線も必ずちょうど3つの変曲点を含む、という興味深い性質があります。
実射影平面上の非特異三次曲線は、その実点が1つまたは2つの連結成分（「オーバル」と呼ばれることもあります）で構成されることがニュートンによって研究されました。これらの成分のうち、射影直線と必ず交わる成分は、ユークリッド平面上で見たときには一つあるいは三つの無限に伸びる枝として現れ、実変曲点が含まれます。もう一つの成分は、存在するとしても変曲点を含まず、閉じているか、あるいは二つの無限枝として見えることがあります。
非特異三次曲線は楕円曲線とも深い関連があります。代数的閉体上では、非特異三次曲線は楕円曲線と等価になります。楕円曲線はしばしば、ワイエルシュトラス標準形と呼ばれる特定の形に変換して研究されますが、これは曲線上の特定の点が無限遠点として機能する場合に有効です。しかし、有理数体上の多くの三次曲線は、このような特別な点を持たないこともあります。
一方、特異点を持つ三次曲線は、その特異点の種類と数が限られています。特異三次曲線は、二次の代数曲線と一次の代数曲線（つまり直線）の組み合わせ、あるいは3つの直線の組み合わせとして「退化」して捉えることができます。この場合、特異点は二重点、尖点、または三重点として現れ、その数も制限されます。
三角形に関連する三次曲線
幾何学において、特に三角形の研究に関連して現れる様々な興味深い三次曲線が存在します。△ABCの辺長を $a=|BC|, b=|CA|, c=|AB|$ とし、点の座標を表すのに三線座標や重心座標といった特殊な斉次座標が用いられます。これらの座標系の間には相互変換の関係があります。
多くの三角形に関連する三次曲線は、点の座標 $(x:y:z)$ と辺長 $(a,b,c)$ を引数とする関数 $f$ を用いて、以下のような巡回和の形式で表されることが多いです。
$$ \sum_{\text{cyclic}} f(x,y,z,a,b,c) = 0 $$
ここで $\sum_{\text{cyclic}}$ は、$(x,y,z)$ と $(a,b,c)$ をそれぞれ巡回的に置換しながら加え合わせることを意味します。また、点 $X=x:y:z$ に対し、その等角共役点 $X^$ は三線座標で $1/x:1/y:1/z$ と定義されます。
いくつかの代表的な三角形に関連する三次曲線を挙げます。
ノイベルグ三次曲線: 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を結ぶ直線 $XX^$ が、オイラー無限遠点を通る直線（オイラー線に平行）となるような点 $X$ の軌跡として定義されます。頂点、内心、傍心、外心、垂心、フェルマー点、等力点、オイラー無限遠点など、多くの有名な中心点を通ります。
17点三次曲線 (Thomson Cubic): 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を結ぶ直線 $XX^$ が、三角形の重心 $G$ を通るような点 $X$ の軌跡です。頂点、内心、傍心、重心、外心、垂心、類似重心、辺の中点といった点を含みます。
ダルブー三次曲線 (Darboux Cubic): 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を結ぶ直線 $XX^$ が、ド・ロンシャン点 $L$ を通るような点 $X$ の軌跡です。頂点、内心、傍心、外心、垂心、ド・ロンシャン点などを通過します。
ナポレオン-フォイエルバッハ三次曲線 (Napoleon-Feuerbach cubic): 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を結ぶ直線 $XX^$ が、九点円の中心 $N$ を通るような点 $X$ の軌跡です。頂点、内心、傍心、外心、垂心、ナポレオン点などがこの曲線上にあることが知られています。
リュカ三次曲線 (Lucas cubic): 点 $X$ のチェバ三角形がダルブー三次曲線上の点の垂足三角形となるような点 $X$ の軌跡として定義されます。頂点、反中点三角形の頂点、重心、垂心、ジェルゴンヌ点、ナーゲル点、ド・ロンシャン点などを通過します。
第一ブロカール三次曲線: 点 $X$ を用いて定義される特定の3点が共線となるような点 $X$ の軌跡です。頂点、重心、類似重心、第一・第三ブロカール点の頂点、シュタイナー点などを通過します。
第二ブロカール三次曲線: 点 $X$ とその等角共役点 $X^$ を通る特定の直線がブロカール軸上にあるような点 $X$ の軌跡です。頂点、重心、類似重心、フェルマー点、等力点、パリー点などがこの曲線上に見られます。
1st equal areas cubic: 点 $X$ のチェバ三角形と点 $X^*$ のチェバ三角形の面積が等しくなるような点 $X$ の軌跡です。内心、傍心、シュタイナー点、第一・第二ブロカール点などを通過します。
これらの三角形に関連する三次曲線は、それぞれが興味深い幾何学的性質や、三角形における様々な重要な点との関連性を持っており、現代幾何学の研究対象となっています。
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