コーシーの定理 (群論)

コーシーの定理

群論では、コーシーの定理が重要な役割を果たしています。この定理は、群の位数が素数で割り切れる場合、その群には必ず素数位数の部分群が存在することを示しています。コーシーの定理は、1845年にアウグスティン・ルイ・コーシーによって発表され、その後の多くの数学的成果に影響を与えました。

概要

群論における基本的な法則の一つにラグランジュの定理があります。これは、任意の群 G の部分群 H の位数 |H| が G の位数 |G| を割り切ることを保証しています。この性質に基づき、位数が素数である群に注目すると、自明な部分群 {e} と団体自身 G 以外には部分群を持たないことが分かります。特に、素数位数の群は、必ず単独の生成元 g によって構成される巡回群
⟨g⟩ であることが示されます。

このような観察から、群の位数の素因数分解と、素数位数の巡回群が存在するという性質が結びつくことが予想され、これを証明したのがコーシーの定理です。この定理が最初に発表されてから、27年後には、シローの定理が証明され、さらなる拡張がなされました。

定理の証明

定理の証明は、次のように進められます。群 G の位数が素数 p で割り切れると仮定します。次に、以下の集合 S を定義します。

$$ S = igg\{ (x_1, x_2, ..., x_p) ext{ | } x_1 imes x_2 imes ... imes x_p = e \bigg\} $$

ここで、$e$ は G の単位元です。集合 S の中の元が特定の形をしているとき、各元が持つ性質を利用して写像 f を定義します。

$$ f(x_1, x_2, ..., x_p) = (x_2, x_3, ..., x_p, x_1) $$

この写像 f は全単射であり、すべての元を巡回的に入れ替えることができます。写像 f を使って得られる全ての変換を組み合わせることによって、最終的には群の構造に関する深い性質に到達します。

具体的には、集合 S の位数が |
S| = s + pt という形で表され、ここで s は不動点の数を表します。このように、S の位数が素数 p で割り切れることから、s も p で割り切れなければならないという結論に至ります。これにより、s が正であることが分かり、定義に従って不動点は必ず存在します。

最終的に、f の不動点は (a, a, ..., a) という形を取り、ここで a は G の元です。これにより、x の位置において単位元以外の元が存在し、それゆえに p が s を割り切ることが確認されます。これが証明となるわけです。

まとめ

コーシーの定理は、群論の根幹をなす非常に重要な理論であり、多くの数学的研究に支えられています。この定理は、さまざまな数学的構造において、素数の特性を確立するための基盤として機能します。これを学ぶことで、より深い群論の理解が得られるでしょう。そして、コーシーの定理に関連する研究は、今なお進展を見せており、数学の世界における探求が続いています。

もう一度検索