コーシー・ビネの公式

コーシー・ビネの公式：行列式の積と小行列式

コーシー・ビネの公式（Cauchy-Binet formula）は、線形代数学における重要な定理です。この公式は、2つの行列の積から得られる行列の行列式を、元の行列から作られる小行列式の積の和として表現します。 オーギュスタン＝ルイ・コーシーとジャック・フィリップ・マリー・ビネの名を冠したこの公式は、実数や複素数だけでなく、より一般の可換環上の行列に対しても成立します。

定理の記述

自然数 n と非負整数 m を考えます。m × n 行列 A と n × m 行列 B の積 AB は m × m 行列となります。[n] = {1, 2, ..., n} と表記し、[n] の要素数 m の部分集合を S とします。A_S を A の列ベクトルから S に含まれる添字の列ベクトルを選び、m 次の正方行列として構成します。同様に、B^S を B の行ベクトルから S に含まれる添字の行ベクトルを選び、m 次の正方行列として構成します。

このとき、コーシー・ビネの公式は以下のように表されます。

det(AB) = Σ_{|S|=m, S⊂[n]} det(A_S)det(B^S)

ここで、総和は [n] の全ての m 要素部分集合 S について取られます。m > n の場合は、右辺は 0 となります。

成分による表示

行列 A と B の成分をそれぞれ a_ij と b_ij と表すと、コーシー・ビネの公式は以下のようにも表現できます。


この式において、右辺の総和は 1 ≤ k₁ < ... < k_m ≤ n を満たす全ての整数の組 (k₁, ..., k_m) について取られます。 m > n の場合は、右辺は 0 となります。

小行列式記法による表示

小行列式を用いた簡潔な表記も可能です。 A の小行列式を A((i₁,...,i_l),(j₁,...,j_l)) と表記すると、コーシー・ビネの公式は以下となります。

(AB)((1,...,m),(1,...,m)) = Σ_1≤k1<...m≤n A((1,...,m),(k₁,...,k_m)) B((k₁,...,k_m),(1,...,m))

定理の証明

コーシー・ビネの公式の証明は、行列式の多重線形性と反対称性を用いて行います。まず行列式の多重線形性を利用して、行列式を元の行列の成分の和として展開します。その後、行列式の反対称性から、和の項の中で非零となるのは、添字の組が単射写像によって対応付けられている場合のみであることが分かります。この単射写像を置換として解釈することで、最終的にコーシー・ビネの公式が得られます。詳細は専門書を参照ください。

具体例

様々な m と n の値、そして行列 A と B の具体的な例を用いて、コーシー・ビネの公式が実際に成立することを確認することができます。 (例1)m=1, n=3, (例2)m=2, n=3, (例3)m=3, n=3, (例4)m=4, n=3 の場合の計算例が示されています。 これらの例を通して、公式の理解を深めることができます。

一般化されたクロネッカーのデルタとの関係

コーシー・ビネの公式は、一般化されたクロネッカーのデルタを用いて表現することもできます。この表現は、公式の別の側面を浮き彫りにし、単位行列の基本的な性質との関連性を示唆します。

特殊な場合

m > n の場合、コーシー・ビネの公式は自明に成立します。m = n の場合は、行列式は通常の行列式の積となります。 m = 0, 1, 2 の場合は、それぞれ自明な式、ビネ・コーシーの恒等式、スカラー三重積に関する公式を表します。 m > 3 の場合、ベクトルの外積に関する興味深い性質が示されます。

まとめ

コーシー・ビネの公式は、一見複雑に見えるかもしれませんが、その背後にある数学的な構造は美しく、エレガントです。この公式は、線形代数学における様々な問題を解く上で強力なツールとなり、その理解は、より高度な数学の学習においても役立ちます。

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