サードの定理

サードの定理

サードの定理は、微分可能な関数に関する重要な解析学の定理であり、サードの補題あるいはモース・サードの定理とも呼ばれます。この定理の主張は、ある条件下での滑らかな関数の「臨界点」と呼ばれる特別な点の集合が、その関数によって写像された結果（「臨界値」の集合）が非常に小さい集合になるというものです。

定理の基本的な内容

最も基本的な形は、ユークリッド空間間の滑らかな関数について述べられます。関数 $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ を考えましょう。この関数が$C^k$級であるとは、それが$k$回連続微分可能であることを意味します。サードの定理では、$k \ge \max\{n - m + 1, 1\}$ という条件が課されます。

ここで、関数$f$の臨界点とは、定義域$\mathbb{R}^n$の点$x$であって、その点における$f$の微分写像、$df_x$（またはヤコビ行列）の階数（ランク）が、終域の次元$m$よりも小さい点すべてを指します。臨界点ではない点（階数が$m$に等しい点）は正則点と呼ばれます。

サードの定理が主張するのは、これらの臨界点全体の集合を$X$としたとき、$X$が関数$f$によって写像された像$f(X)$が、終域$\mathbb{R}^m$においてルベーグ測度ゼロであるということです。ルベーグ測度ゼロであるとは、直感的にはその集合に含まれる要素が「ほとんどない」状態を指します。

この定理は、「定義域である$\mathbb{R}^n$には多数の臨界点が存在するかもしれないが、それらの点に対応する終域$\mathbb{R}^m$上の値（臨界値）は、ルベーグ測度の意味では無視できるほど少ない」ということを示唆しています。

多様体への拡張

サードの定理は、より一般的な設定である多様体間の滑らかな関数に対しても成り立ちます。$N$を$n$次元、$M$を$m$次元の第二可算な微分可能多様体とし、$f : N \to M$ を$C^k$級写像とします。ここでも、$k \ge \max\{n - m + 1, 1\}$ の条件が必要です。

多様体における臨界点も同様に定義されます。点$x \in N$における$f$の微分$df_x$は、接空間$T_x N$から$T_{f(x)} M$への線形写像ですが、この線形写像としての階数が終域の次元$m$より小さい点$x$が臨界点です。これらの臨界点全体の集合を$X$とします。

このとき、サードの定理は、$X$の像$f(X)$が、多様体$M$の部分集合としてルベーグ測度ゼロであることを保証します。

多様体におけるこの定理は、ユークリッド空間での定理を基礎として導かれます。これは、多様体が可算個の座標近傍（ユークリッド空間と同相な部分集合）の貼り合わせとして捉えられること、ルベーグ測度ゼロという性質が微分同相写像によって保たれること、そして測度ゼロの集合の可算個の和集合も測度ゼロであるという性質を利用し、局所的にユークリッド空間での議論に帰着させることで証明されます。

歴史と関連する定理

サードの定理の歴史は、いくつかの段階を経て発展しました。

$m=1$、すなわち実数値関数の場合の臨界点の像に関する定理は、1939年にアンソニー・モースによって証明されました。
一般的なユークリッド空間間の写像に対する定理は、1942年にアーサー・サードによって証明されました。
無限次元のバナッハ空間に拡張された形は、1965年にスティーブン・スメールによって得られました。
また、1965年にはサード自身によって定理がさらに一般化されました。これは、ヤコビアンの階数が$r$以下である点の集合の像のハウスドルフ次元が$r$以下であるという主張です。これは、単に測度ゼロであるというだけでなく、像の「大きさ」をより詳細に評価するものです。

応用

サードの定理は、高度な解析的手法を用いて証明される強力な結果であり、様々な数学分野に応用されています。特に位相幾何学において頻繁に利用されます。

例えば、ブラウワーの不動点定理の証明や、モース理論における特異点の解析などで重要な役割を果たします。サードの定理から直接導かれる重要な系として、「定数写像ではない滑らかな写像は、少なくとも一つ正則な値をとる」という主張があります。これは、定義域に正則点が存在すれば、その点での写像の値は正則値となり、近傍で写像が局所的に可逆であるなどの良い性質を持つことを意味します。

サードの定理は、写像の特異点が終域に与える影響の小ささを保証する基本的かつ重要な定理として、現代数学において広く認識されています。

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