ザイフェルト曲面

ザイフェルト曲面について

ザイフェルト曲面、またはザイフェルト膜とは、結び目を境界に持った向き付け可能な二次元の曲面のことを指します。この曲面は、数理的にはコンパクトであり、境界が特定の結び目に一致しています。

定義と基本的な性質

多様体としてのザイフェルト曲面は、三次元空間またはその上に定義されます。具体的には、R³やS³といった空間に埋め込まれ、結び目 K の境界として表現される二次元曲面 Ω です。この時、Ω の境界は∂Ω = K の形式で結び目 K を示します。例えば、円盤 D² は自明な結び目を境界に持つザイフェルト曲面の一例です。一方で、メビウスの輪は一回半ひねりの特性を持ちますが、三葉結び目を境界に持ちながら向き付け可能でないため、ザイフェルト曲面には分類されません。

結び目 K を考慮する際には、その向きを明確にし、その向きに従った曲面 Ω を指します。この場合、Ω の境界 ∂Ω が結び目 K の向きに一致することが求められます。

ザイフェルト曲面の発見

ザイフェルト曲面がどの結び目に対しても存在することを最初に証明したのは、1930年のフランクルとポントリャーギンです。その後、1934年にザイフェルト自身が曲面を構成するための具体的なアルゴリズムを示しました。これにより、ザイフェルト曲面の存在が広く認識されるようになりました。

ザイフェルトのアルゴリズム

ザイフェルト曲面を構成するための方法として「ザイフェルトのアルゴリズム」が提案されています。このアルゴリズムは、以下の3つのステップから成ります。

ステップ1: 平滑化

与えられた有向絡み目の射影図を平滑化します。この際、射影図の交点は特定の方法で置換され、最終的にはザイフェルト円周と呼ばれる円が残ります。

ステップ2: 円板の張り

残されたザイフェルト円周に対して、それぞれの円周を境界にもつ円板を張ります。円周の内外関係に注意し、問題なく円板を構成するようにします。

ステップ3: 帯による連結

平滑化で消去した交点の各部分で、円板同士を180°ひねった帯で連結します。この操作によって、向き付け可能なザイフェルト曲面が完成します。

結び目の種数

結び目 K に対して定義される最小ザイフェルト曲面とは、その中で種数が最も小さい曲面を意味します。これは、一般には一意ではなく、K の種数と呼ばれる概念が生まれます。また、合成結び目に対する種数は、その因子結び目の種数の合算に等しいことがシューベルトによって証明されています。

関連項目

ザイフェルト曲面と結び目理論は、様々な数学的な問いに関わる重要なテーマです。また、ザイフェルト行列やアレクサンダー多項式など、関連する分野にも注目が集まっています。これらの理論を学ぶことで、結び目に関する知識がさらに深まるでしょう。

参考文献

• - C・C・アダムス著、金信泰造訳 『結び目の数学』 培風館、1998年。
• - 村杉邦男 『結び目理論とその応用』 日本評論社、1993年。
• - 鈴木晋一 『結び目理論入門』 サイエンス社、1991年。
• - W. B. R. リコリッシュ 『結び目理論概説』 シュプリンガー・フェアラーク東京、2000年。

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