種数

種数（Genus）とは

数学における「種数」（英：genus）は、分野によって異なる意味を持つ用語です。位相幾何学、グラフ理論、代数幾何学など、それぞれの分野で独自の定義がなされていますが、互いに関連する概念でもあります。この記事では、それぞれの分野における種数の定義と、具体的な例を交えながら解説します。

位相幾何学における種数

位相幾何学における種数は、主に曲面の分類に使われる概念です。曲面とは、例えば球面やトーラス（ドーナツ型）のように、局所的に平面のように見える図形のことです。位相幾何学では、図形の連続的な変形（例：ゴムのように伸ばしたり縮めたり）で区別できない図形は同じものとみなします。

向き付け可能閉曲面

向き付け可能閉曲面とは、表裏の区別ができる曲面のことで、例えば球面やトーラスがこれにあたります。この場合の種数は、曲面を切断しても連結なままに保てるような、閉じた曲線の最大数として定義されます。この値は、曲面の「ハンドルの数」と一致します。

具体例として、

球面（S2）は、切断しても連結なままに保てる閉曲線がないため、種数は0です。
トーラスは、1つの閉曲線で切断しても連結なままに保てるため、種数は1です。

また、オイラー標数 χ を用いて種数 g を計算することも可能です。閉曲面の場合、 χ = 2 - 2g という関係式が成り立ちます。境界を持つ曲面の場合は、 χ = 2 - 2g - b (bは境界成分の数)となります。

曲面のベッチ数とも関連があり、Sのベッチ数は2gであるため、以下の式が成り立ちます。

H₁(S, Z) = Z²ᵍ

向き付け不可能閉曲面

向き付け不可能閉曲面とは、表裏の区別ができない曲面のことで、例えば射影平面やクラインの壷がこれにあたります。この場合の種数は、球面に付けられたクロスキャップ（自己交差を持つ曲面の一部）の数として定義されます。また、オイラー標数 χ を用いて種数 k を計算することも可能で、この場合は χ = 2 - k という関係式が成り立ちます。

具体例として、

射影平面は、クロスキャップが1つ付いているため、種数は1です。
クラインの壷は、クロスキャップが2つ付いているため、種数は2です。

結び目理論における種数

結び目理論における種数は、結び目の「複雑さ」を表す指標の一つです。結び目とは、空間内に輪のように埋め込まれた閉じた曲線（例えば、ロープを途中で交差させて両端を結んだもの）のことです。

結び目 K の種数は、K についての全てのザイフェルト曲面（境界が結び目 K となる曲面）の中で、最小の種数を持つ曲面の種数として定義されます。ザイフェルト曲面の種数は、その境界に円盤を貼り付けて得られる曲面の種数として定義されます。

ハンドル体における種数

3次元ハンドル体とは、空間内に埋め込まれたトーラス（またはその変形）のような図形のことで、例えばマグカップのような形をしたものです。ハンドル体の種数は、切断しても連結なままに保てるような円盤の最大数として定義され、そのハンドル数と一致します。

例えば、

球は、切断しても連結なままに保てる円盤がないため、種数は0です。
トーラス体（D² × S¹）は、1つの円盤で切断しても連結なままに保てるため、種数は1です。

グラフ理論における種数

グラフ理論における種数とは、グラフが描画できる曲面の複雑さを表す指標です。グラフとは、点（頂点）と、それらを結ぶ線（辺）から構成される図形のことで、例えば道路網や人間関係などを抽象化したものです。

グラフの種数は、グラフの辺が交差しないように描画できる曲面のうち、最も「単純」な曲面の種数として定義されます。具体的には、グラフが n 個のハンドルを持つ球面（種数 n の向き付け可能閉曲面）上で交差なく描けるとき、最小の n をグラフの種数と呼びます。平面グラフは、球面上で交差なく描けるため、種数は0となります。

同様に、グラフが n 個のクロスキャップを持つ球面（種数 n の向き付け不可能閉曲面）上で交差なく描けるとき、最小のnをグラフの向き付け不可能種数と呼びます。

グラフの種数を求める問題は、一般にNP完全問題として知られており、効率的なアルゴリズムを見つけることが難しい問題です。

代数幾何学における種数

代数幾何学における種数とは、代数多様体（多項式で定義される図形）の複雑さを表す指標です。代数多様体とは、例えば代数曲線（多項式の解で定義される曲線）や代数曲面のことです。

代数幾何学では、算術種数と幾何種数という2つの関連する定義があり、代数曲線で特異点がない場合は、これらの定義は一致し、位相幾何学的な定義とも一致します。

特に、楕円曲線とは、種数が1で、特定の点を通る非特異な曲線として定義されます。

まとめ

「種数」という言葉は、数学の様々な分野で異なる意味を持ちますが、根底には図形の複雑さや性質を測るという共通の概念があります。位相幾何学では曲面のハンドル数やクロスキャップの数、結び目理論では結び目の複雑さ、グラフ理論ではグラフが描画できる曲面の複雑さ、代数幾何学では代数多様体の複雑さを表す指標として、「種数」という言葉が用いられています。これらの概念を理解することで、数学的な対象のより深い理解へとつながるでしょう。

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