三葉結び目

三葉結び目（トレフォイル結び目）とは

三葉結び目（さんようむすびめ/みつばむすびめ、trefoil knot）は、結び目理論において、最も単純でありながら非自明な結び目として知られています。これは、位相幾何学における重要な研究対象であり、ロープワークでは止め結びとして使われることもあります。その形状が植物のクローバーに似ていることから、この名前が付けられました。

デザインと象徴

三葉結び目のデザインは、そのシンプルさと独特の形状から、彫刻やロゴなど、様々な分野で広く用いられています。例えば、ウェールズ大学の数学科では、ジョン・ロビンソン作の三葉結び目の彫刻が学科のシンボルとして使われています。このように、数学的な概念でありながら、視覚的な魅力も持ち合わせているのが、三葉結び目の特徴です。

数学的性質

三葉結び目は、結び目理論において多くの興味深い性質を持っています。以下に主なものを挙げます。

両手型結び目ではない：三葉結び目は、その鏡像と一致しません。そのため、右手型と左手型の2種類が存在します。
可逆である：どちらの向きから見ても同じ形状をしています。
素な結び目である：他の結び目の合成によって作ることができません。
交代結び目である：射影図において、交差が交互に現れるように表現できます。
最小交点数：射影図における交点の最小数は3であり、交点数が3の結び目は三葉結び目のみです。
結び目解消数：結び目を解くために必要な交差の交換回数は1回です。
組み紐指数：組み紐として表現する際の最小の紐の数は2本です。
2本橋結び目である：橋指数（射影図の最長上道の本数の最小値）は2です。
棒指数：折れ線状の結び目として表現するのに必要な最小の辺の数は6です。
結び目の種数：ザイフェルト曲面の最小種数は1です。
トーラス結び目：(±2, ±3)型、または(±3, ±2)型のトーラス結び目として表されます。

多項式

三葉結び目には、その形状を特徴づける多項式が存在します。

ジョーンズ多項式：
左手型： \(t^{-1} + t^{-3} - t^{-4}\)
右手型： \(t + t^3 - t^4\)
アレクサンダー多項式：左右どちらの型も \(t^{-1} - 1 + t\) です。

これらの多項式は、結び目を数学的に解析するための強力なツールです。

デーン手術

3次元球面に対し、右手型の三葉結び目に沿って係数1のデーン手術を行うと、ポアンカレホモロジー球面が得られます。左手型に係数-1で手術した場合も同様です。この性質は、3次元多様体の研究において重要です。

まとめ

三葉結び目は、その単純な形状からは想像もできないほど多様な数学的性質を持つ結び目です。結び目理論の入門としてだけでなく、数学や芸術の様々な分野で興味深いテーマを提供し続けています。この結び目は、単なる図形以上の、深い数学的な意味と象徴性を兼ね備えた存在と言えるでしょう。

参考資料

C・C・アダムス著、金信泰造訳 『結び目の数学』 培風館、1998年。ISBN 978-4563002541。
村杉邦男 『結び目理論とその応用』 日本評論社、1993年。ISBN 978-4535781993。
V. V. Prasolov, A. B. Sossinsky, Knots, Links, Braids and 3-Manifolds, Amer Mathematical Society, 1993. ISBN 978-0821808986。

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