ザリスキ環

ザリスキ環についての詳細

可換環論の重要なテーマの一つにザリスキ環（Zariski ring）が存在します。これは、特定の条件を満たす可換ネーター位相環を指します。この環は、ジャコブソン根基という極大イデアルの共通部分に含まれるイデアルに基づいて定義されます。

ザリスキ環は、1946年にオスカー・ザリスキによって「半局所環」（semi-local ring）として提案されましたが、その後1953年にピエール・サミュエルが「ザリスキ環」と名付けました。これらの環は、可換環論の研究において非常に重要な役割を果たしています。

ザリスキ環の特性

ザリスキ環の主な特徴は、すべての極大イデアルが特定のイデアルの進位相において閉じていることです。これにより、ザリスキ環の構造は明確になり、多くの応用が可能になります。具体的には、以下の条件が成り立つことが知られています。

1. ネーター環の進完備化：ある可換ネーター環Aが与えられたとき、その極大イデアルに基づく$a$-進完備化${ ext{A}}^{{ ext{(a)}}}$が存在します。
2. 忠実平坦性：次に、この完備化がAに対して忠実平坦であること（平坦性を一般的に含む）が求められます。
3. 極大イデアルの性質：すべての極大イデアルが、対応する$a$-進位相で閉じていることが求められます。この条件を満たすと、環Aはザリスキ環と見なされます。

このように、ザリスキ環は特定の性質を持つ環であり、可換環論において非常に重要な役割を果たします。その導入は、環の構造や性質を理解するための基礎となり、他の数学的な理論や応用とも関連しています。特に、数論や代数幾何学などの分野での応用が見られます。

ザリスキ環の例

ザリスキ環の一例として、ネーター局所環が挙げられます。これは、有限生成の環であり、極大イデアルが限られたビルディングブロックとして機能します。また、ネーター環の$a$-進完備化もザリスキ環の例として知られています。これらの環は、理論的にも応用的にも重要であり、数論や幾何学、さらに応用数学においても幅広く利用されています。

参考文献

• - M. Atiyah, I. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., 1969.
• - Samuel, P., Algèbre locale, Mémor. Sci. Math., 123, Gauthier-Villars, 1953.
• - Zariski, O., “Generalized semi-local rings”, Summa Brasil. Math., 1 (8): 169–195, 1946.
• - Zariski, O., Samuel, P., Commutative algebra. Vol. II, Springer-Verlag, 1975.

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