半局所環

半局所環とは

半局所環とは、数学において特定の性質を持つ環のことを指します。具体的には、環 R が半局所環であるためには、R のジャコブソン根基 J(R) を考慮した場合、剰余環 R/J(R) が半単純環である必要があります。この条件は、R に存在する極大右（または左）イデアルが有限個であるときに成立します。

特に、環 R が可換環である場合、逆の関係も成り立つため、可換環を考える際には「極大イデアルが有限個である環」として半局所環を定義することが一般的です。ただし、文献によっては、一般的な可換の半局所環を「擬半局所環」と呼び、極大イデアルが有限個を持つネーター環のみを本当の半局所環と見なすこともあります。これにより、半局所環は、局所環の中でも極大イデアルを一つだけ持つ環よりも幅広い概念として理解されます。

具体例

半局所環のいくつかの具体例を挙げてみましょう。

1. アルティン環: 任意の右あるいは左アルティン環は半局所環です。これは、アルティン環が持つ特有の構造に基づくものです。
2. 剰余環: 整数環 Z において、剰余環 Z/mZ は半局所環です。特に、m が素数の冪である場合、この剰余環は局所環ともなります。
3. 有限体の直和: n 個の体 F_i の直和 _i=1^n Fi も半局所環の一例です。次に、この直和は体としての性質を持つため、数理的に重要な役割を果たします。

プロトタイプとしての可換環

特に注目すべき点は、単位元を持つ可換環において、半局所環の特性がどのように働くかということです。中国の剰余定理によれば、極大イデアルが m_1, ..., m_n である単位的可換半局所環 R に対し、剰余環 R/∩_{i=1}^{n}m_i が n 個の R/m_i の直和として表現できます。この写像は自然な射影によって行われ、右辺は体の直和を形成します。ここで、∩_{i} m_{i} = J(R) であることから、剰余環が半局所環であることも明らかです。

また、任意の可換ネーター環に対する古典的剰余環も半局所環になります。さらに、アルティン加群の自己準同型環も半局所環の特性を持ちます。

半局所環の応用

半局所環は特に代数幾何学において重要です。具体的には、環 R が特定の条件を満たすとき、局所化によって半局所環が現れる場合があります。たとえば、積閉集合 S = ∩(R \\ p_i)（ここで p_i は有限個の素イデアルである）の構造を考えるとき、この特性によって半局所環の理解が深まります。

結論

このように、半局所環はその定義や性質から多岐にわたって応用され、さらに一般的な局所環とは異なる特徴を持ちます。半局所環の研究は、代数的構造を探求する上での重要なステップとなり、多くの数学的概念を結びつける役割を果たします。

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