シンプソンの公式

シンプソンの公式

シンプソンの公式（英: Simpson's Rule）は、数値解析の技法の一つであり、特に定積分の近似計算に用いられます。この方法は、与えられた関数を二次関数で近似することによって、積分の値を効果的に求めるもので、その名はトーマス・シンプソンに由来しています。この公式は、次数2の閉じたニュートン・コーツの公式に分類されます。

基本的な考え方

シンプソンの公式では、関数 f(x) を二次多項式 P(x) で近似します。具体的には、関数 f(x) の区間 [a, b] において、点 a、b、m（a と b の中点）の関数値を用います。P(x) は次の形を取る多項式です。

$$
P(x) = f(a) \frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)} + f(m) \frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)} + f(b) \frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}.
$$

この多項式 P(x) を積分することで、シンプソンの公式が得られます。

$$
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \int_{a}^{b} P(x) dx = \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right].
$$

誤差について

シンプソンの公式による積分の近似には誤差が伴います。この誤差は、区間 [a, b] の中にある未知の点 ξ の影響を受けます。誤差は次の式で見積もることができます。

$$

• -\frac{h^5}{90} f^{(4)}(\xi),

$$

ここで、h は (b - a)/2 です。さらに、関数 f(x) が2回微分可能で、f'' が凸関数の場合、この誤差は次の下限と上限を持ちます。

$$
(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) + \frac{1}{3}h^3f''\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \int_{a}^{b} f(x) dx \leq \frac{b-a}{6} \left[ f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right].
$$

合成シンプソン公式

シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が小さな場合に適用可能ですが、範囲が大きい場合には、分割して各小区間に対してシンプソンの公式を適用することが効果的です。この手法は「合成シンプソン公式」として知られています。

合成シンプソン公式は次のように表現されます。

$$
\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 2 \sum_{j=1}^{n/2-1} f(x_{2j}) + 4 \sum_{j=1}^{n/2} f(x_{2j-1}) + f(x_n) \right].
$$

ここで、n は区間 [a, b] を等しい個数の部分区間に分割した数であり、h は各部分区間の長さを示します。この公式を使うことで、より正確な積分値の推定が可能です。

最大誤差の見積もり

合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、以下の式で表現されます。

$$

• -\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi).

$$

まとめ

シンプソンの公式は、数値解析において非常に有用なツールです。特に、合成シンプソン公式を使用することで、大規模な積分範囲でも高い精度で近似を得ることができます。学術や工学の様々な分野で広く応用されており、数値解析の基礎として重要な位置を占めています。

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