セルマー群

セルマー群とは

数論幾何学において、セルマー群とはアーベル多様体の同種写像に由来する群のことであり、その提唱者であるE. Selmerにちなんで名付けられました。この群はアーベル多様体の研究において重要な役割を果たします。

セルマー群の定義

アーベル多様体をA、別のアーベル多様体をBとし、同種写像f: A → Bを考えます。この場合のセルマー群は、以下のように定義されます：

$$Sel(f)(A/K) = \bigcap_{v} ker\left(H^{1}(G_{K},ker(f)) \rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v}[f]) / im(\kappa_{v})\right)$$

ここで、Av[f]は、A_{v}におけるfによる捩れ元の全体を表します。また、\\kappa_{v}は局所クンマー写像を示します。これにより、一般的なガロアコホモロジーの構造を利用して、セルマー群が形成されます。

幾何学的および有限性に関する特性

セルマー群の要素は、Kのすべての素点vについてKv有理点を持つ主等質空間を形成します。この特性により、セルマー群は有限であることが示されます。また、ある条件下でテイト・シャファレヴィッチ群の部分群が消失することから、セルマー群も有限であることが導かれます。

特に、以下の完全系列が成り立ちます：

$$0 → B(K)/f(A(K)) → Sel(f)(A/K) → Ш(A/K)[f] → 0$$

この系列の中央に位置するセルマー群は有限であり、実効的に計算可能であるとされます。これは弱いモーデルの定理に基づいており、その結果として部分群B(K)/f(A(K))が有限であることが求められます。これに関する計算問題は数学の分野での難問として知られています。

セルマー群の計算と難問

テイト・シャファレヴィッチ群のp成分が有限であるような素数pの存在が前提とされる場合、実際の計算方法があります。さまざまな研究者がこの問題に挑み、特にGreenberg（1994）は岩澤理論におけるp進ガロア表現とモチーフのp進変形にセルマー群の概念を拡張しました。

有限ガロア加群におけるセルマー群

さらに一般的な場合として、有限ガロア加群Mにおいてもセルマー群の概念が適用できます。この場合、H1(GK, M)の元がH1(GKv, M)での与えられた部分群に入るもの全体として定義されます。

数論幾何学におけるセルマー群は、アーベル多様体の構造を深く理解するための重要な道具であり、様々な数学的問題に応用される可能性を秘めています。

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