モーデルの定理

数学、特に数論幾何学の分野におけるモーデルの定理は、有理数体上で定義された楕円曲線の、有理座標を持つ点すべてと、特別な点である無限遠点を合わせた集合がなす群構造に関する根幹的な主張です。この定理は、そのような点の集合が加法に関して有限生成アーベル群となることを示しています。

有限生成アーベル群は、構造定理によって、いくつかの無限巡回群の直和と、有限アーベル群（ねじれ部分群と呼ばれます）の直和として一意的に分解されることが知られています。具体的には、`Z^r`のような自由部分（ここで `r` は0以上の整数で、楕円曲線の「ランク」と呼ばれます。ミレニアム懸賞問題の一つであるバーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想と深く関連しています）と、有限群 `T` の直和の形を取ります。楕円曲線の有理点群E(Q)の場合、ねじれ部分群 `T` の具体的な構造については、メイザーのねじれ定理によって完全に分類されており、特定の有限群（例えば、位数1から10または12の巡回群、あるいは位数2, 4, 6, 8の巡回群と位数2の巡回群の直和）に限られることが示されています。

モーデルの定理は、後にアンドレ・ヴェイユによってさらに一般的な形で拡張されました。彼は、有理数体だけでなく任意の代数体上のアーベル多様体の有理点の群が有限生成であるという「モーデル・ヴェイユの定理」を証明しました。モーデルの定理は、このモーデル・ヴェイユの定理において、対象が楕円曲線（1次元のアーベル多様体）であり、基礎体が有理数体である場合の特別なケースにあたります。

証明のアイデア

モーデルの定理の証明は、主に二つの重要な要素に依存しています。

一つ目は「モーデルの弱定理」です。これは、楕円曲線の有理点群 `E(Q)` を2倍する写像で割った剰余群 `E(Q)/2E(Q)` が有限群であることを主張します。一般に、アーベル群が有限生成であるならば、それを2倍した像で割った群は有限になります。したがって、弱定理はこの定理が成り立つための必要条件を提供しています。ただし、この逆は必ずしも真ではなく、`A/2A` が有限であっても `A` 自身が有限生成でない場合も存在するため、弱定理だけでは十分ではありません。

二つ目は「有理点の高さ」という概念です。これは、有理数や楕円曲線上の有理点に対して定義される非負の値で、大まかに点の「大きさ」や「複雑さ」を表します。有理数 `x = m/n` (m, nは互いに素な整数) の高さは `max(|m|, |n|)` と定義され、楕円曲線上の有理点 `P` の高さは、そのx座標の高さを用いて定義されます（無限遠点Oには高さ1が与えられます）。

証明では、この高さに対していくつかの重要な性質が使われます。例えば、点の高さを2倍した点の高さとの間に一定の関係があること（高さが急激に増大する傾向）、および、二つの点の和や差の点の高さが、元の二つの点の高さに関連すること（高さが大きくならない傾向）が示されます。これらの性質により、高さが一定値以下の有理点の集合が有限であることが保証されます。

モーデルの弱定理によって、`E(Q)/2E(Q)` の代表元を有限個 (`Q_1, ..., Q_n`) 選ぶことができます。任意の有理点 `P` は、ある代表元 `Q_i` と、ある点 `R` を用いて `P = Q_i + 2R` の形に書けます。高さに関する性質を用いると、点 `R` の高さは点 `P` の高さよりも小さくなることが示されます。このプロセスを繰り返すことで、任意の点 `P` が、有限個の代表元 `Q_i` と、高さが一定値以下の有限個の点との線形結合（群の演算による組み合わせ）で表されることが証明できます。高さが一定値以下の点は有限個しかないため、結局 `E(Q)` 全体が有限個の点によって生成されることが導かれるのです。

歴史と背景

楕円曲線の有理点に関する問題は古くから研究されており、接弦法（三次曲線における点の加法に対応）自体は17世紀から知られていました。有理点群が有限生成であるという予想は、1908年頃にアンリ・ポアンカレによって提示された問いに端を発します。ルイス・モーデルは1922年にこの予想の証明を発表しました。彼の証明では、フェルマーの無限降下法に似た手法が用いられ、特に `E(Q)/2E(Q)` が有限群であることの証明が重要な鍵となりました。

その後、アンドレ・ヴェイユは1928年の博士論文において、この結果を代数体上のアーベル多様体へと一般化しました。ヴェイユは、より抽象的な手法を用いることで、モーデルの証明と同様の構造を持つ証明を遂行しました。彼の一般化では、点の「サイズ」を測るための高さ関数の概念がさらに整備されました。

証明の技術はその後も発展し、ガロアコホモロジーを用いた「降下法」や、高さ関数が二次形式として研究されるなど、証明の前半・後半ともに改良が加えられています。

今後の課題

モーデルの定理やモーデル・ヴェイユの定理は数論幾何学の基礎を築きましたが、未だ解決されていない重要な問題も残されています。

ランクの計算: 楕円曲線のランク `r` が具体的にいくらになるかを、その楕円曲線の定義方程式から一般的に計算する有効なアルゴリズムはまだ見つかっていません。これは計算上非常に困難な問題です。
ランクの意味付け: ランクが持つ数論的な意味合いは、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想（BSD予想）の中心的なテーマであり、この予想は現在も未解決のミレニアム懸賞問題の一つです。
ヤコビ多様体上の曲線: 代数曲線 `C` がアーベル多様体 `A` （例えば `C` のヤコビ多様体）に埋め込まれているとき、`C` と `A` の有理点群 `A(K)` の共通部分が無限集合となるのはどのような場合か、という問題があります。`C = A` の場合は有理点群全体ですが、そうでない場合については、ファルティングスの定理（旧モーデル予想）によって、有限個しか共通部分がないことが証明されています。
捩れ点: `C` が `A` の無限個の捩れ点（有限位数を持つ点）を含むことが可能か、という問題も考えられます。楕円曲線（1次元のアーベル多様体）の場合を除き、これはレノー（Raynaud）によって否定的に解決されており、マーニン・マンフォード予想として知られる結果の一部です。

これらの未解決問題は、モーデルの定理が開拓した分野における活発な研究テーマとなっています。

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