チャーン・サイモンズ形式

チャーン・サイモンズ形式について

チャーン・サイモンズ形式（Chern–Simons form）とは、数学の分野、特にゲージ理論において注目される特性類の一種を指します。この形式は、特に三次元バージョンがチャーン・サイモンズ理論の重要な部分となっており、この理論は著名な数学者、陳省身（Chern）とジェームズ・サイモンズ（Simons）の名にちなんで名付けられました。1974年に発表された彼らの共著論文「Characteristic Forms and Geometric Invariants」は、この理論の基盤を成しています。

定義と基本的考え方

多様体が与えられた場合、その上に定義されたリー代数に値を持つ1-形式（1-form）の空間を $B A D$ とすると、チャーン・サイモンズ形式の族を以下のように定義することができます。

1次元においては、チャーン・サイモンズ1形式は次のように表現されます：

$$ ext{Tr}[B A D].$$

3次元の場合、チャーン・サイモンズ3形式は以下の式で表現されます：

$$ ext{Tr}ig[B F D  B A D - rac{1}{3} B A D ext{ } B A D ext{ } B A D ig].$$

5次元では、チャーン・サイモンズ5形式は次のように定義されます：

$$ ext{Tr}ig[B F D ext{ } B F D ext{ } B A D - rac{1}{2}B F D ext{ } B A D ext{ } B A D ext{ } B A D + rac{1}{10} B A D ext{ } B A D ext{ } B A D ext{ } B A D ext{ } B A D ig].$$

ここで、曲率 $F$ は次の式で表されます：

$$B F D = dB A D + B A D ext{ } B A D.$$

一般的な形

一般的なチャーン・サイモンズ形式 $B B D_{2k-1}$ は以下の定義に基づいています：

$$dB B D_{2k-1} = ext{Tr}(F^k),$$

ここで、ウェッジ積は $F^k$ によって定義されます。この関係は、接続 $B A D$ の $k$ 番目のチャーン類に比例します。

一般に、チャーン・サイモンズ形式は任意の奇数次元 $p$ においても定義されます。p次元の多様体におけるチャーン・サイモンズ項の積分は、グローバルな幾何学的不変量となり、通常は整数の倍数を同じものと見なすことでゲージ不変性を持ちます。

関連項目

チャーン・サイモンズ形式に関連する概念としては、以下のものがあります：

• - チャーン・ヴェイユ準同型
• - カイラルアノマリー
• - 位相場理論
• - ジョーンズ多項式

参考文献としては、以下の論文が挙げられます：
「Characteristic forms and geometric invariants」『The Annals of Mathematics, Second Series』第99巻、第1号、48–69頁、1974年。

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