チャーン・サイモンズ理論

チャーン・サイモンズ理論

チャーン・サイモンズ理論（Chern-Simons Theory）は、3次元の位相場理論であり、エドワード・ウィッテンによって発展しました。この理論は、チャーン・サイモンズの3-形式を用いた作用を中心に構築されており、凝縮系物性論や結び目理論においても重要な役割を果たします。特に、この理論は分数的量子ホール効果における位相的オーダーを記述するのに用いられます。

理論の背景

1940年代には、陳省身とアンドレ・ヴェイユが滑らかな多様体の大域的な曲がり方を研究しました。この研究は後にチャーン・ヴェイユ理論となり、微分幾何学における特性類の基礎を築くものでした。1974年、チャーンとシモンズは新たな準同型を構成し、微分形式を通じてチャーン・サイモン形式を導入しました。

チャーン・サイモンズ理論は、ゲージ群と呼ばれる単純リー群および整数であるレベルという定数で特徴付けられます。この理論では、ゲージ場が3次元時空のすべての境界でゼロとなる場合、作用がしっかりと定義されます。

理論の構成

この理論は、境界があってもなくても任意の3次元多様体上で定義可能です。要するに、何らかの計量を必要とせずに扱うことができ、主G-バンドルに基づいてその構成を行います。接続は、リー群のリー代数に基づく接続1-形式によって表され、これにより共変微分が定義されます。

力学と運動方程式

チャーン・サイモンズ理論の作用は、チャーン・サイモンズ3-形式の積分の値に比例します。役立つ特性は、曲率がどこでもゼロであることと、運動方程式が満たされることが等価である点です。特に、ゲージの平坦性が重要であり、主G-バンドルの平坦接続が特定のサイクルのホロノミーによって決まることが示されています。

量子化と観測量

ウィルソンループは、チャーン・サイモンズ理論における重要な観測量で、ループのホロノミーとして定義されます。ウィルソンループの積に基づいて得られる相関関数や、ジョーンズ多項式などは、この理論の物理的なインプリケーションを強調しています。また、エニオンのような新しい粒子の存在も予測され、量子計算の分野でも注目されています。

他の理論との関係

この理論は、弦理論や他の場の理論とも深く関連しており、チャーン・サイモンズ項が様々な物理現象を記述する上で重要な役割を果たしています。特に、分数量子ホール効果に対しては、理論が良い記述能力を持つことにより、その妥当性が確認されています。

結論

チャーン・サイモンズ理論は、物理と数学の間の架け橋を提供する理論であり、結び目理論や量子場理論において多くの応用を持つ魅力的な研究分野です。今後の研究においても、新たな発見が期待されており、この理論のさらなる深化が求められています。

もう一度検索