テンソル代数

テンソル代数の解説

テンソル代数は、線形代数において重要な概念です。ベクトル空間上のテンソル全体を、テンソル積という演算で結びつけた多元環として定義されます。本稿では、テンソル代数の定義、性質、関連する概念について詳細に解説します。

テンソル代数の定義

体 K 上のベクトル空間 V を考えます。V の k-次テンソル冪 T^k(V) は、V を k 回テンソル積したものとして定義されます。つまり、T^k(V) = V ⊗ V ⊗ ... ⊗ V (k 個) です。k=0 の場合は、T⁰(V) = K と定義します。

テンソル代数 T(V) は、これらの k-次テンソル冪の直和として定義されます。

T(V) = ⊕_k=0^∞ T^k(V) = K ⊕ V ⊕ (V ⊗ V) ⊕ (V ⊗ V ⊗ V) ⊕ ...

テンソル代数の乗法は、テンソル積を用いて定義されます。T^k(V) の元と T^ℓ(V) の元との積は、T^k+ℓ(V) の元となります。この乗法は、結合的かつ分配的であり、K の元はスカラー倍として作用します。

テンソル代数の普遍性

テンソル代数は、普遍性を持つ重要な代数構造です。これは、任意の線形写像 f: V → A (A は K 上の多元環) が与えられたとき、多元環準同型 ~f: T(V) → A で f = ~f ∘ i を満たすものが一意的に存在するという性質です。ここで、i: V → T(V) は自然な埋め込み写像です。この性質は、テンソル代数が V を含む「最も一般」な多元環であることを意味します。

非可換多項式環との関連

V が有限次元ベクトル空間の場合、テンソル代数は、非可換な多項式環と見なすことができます。V の基底ベクトルを非可換変数とみなすことで、テンソル代数の元を非可換多項式として表現できます。ただし、厳密には V 上の非可換多項式環としては、T(V) (V は V の双対空間) の方が適切です。

商代数

テンソル代数の普遍性を利用することで、様々な商代数を構成することができます。例えば、外積代数、対称代数、クリフォード代数などは、テンソル代数のイデアルによる商として構成されます。これらの代数は、テンソル代数の部分構造として理解することができます。

余代数構造

テンソル代数は、余代数構造も持ちます。余乗法と余単位射を適切に定義することで、テンソル代数は双代数やホップ代数の構造を持つことができます。これらの構造は、テンソル代数の表現論やホモロジー代数において重要な役割を果たします。

関連する概念

テンソル代数と関連の深い概念として、テンソル空間、対称代数、外積代数、モノイド圏、フォック空間などがあります。これらの概念は、物理学、幾何学、情報科学など、様々な分野で応用されています。

まとめ

テンソル代数は、線形代数における基本的な概念であり、様々な応用を持つ重要な代数構造です。その普遍性、非可換多項式環との関連、そして余代数構造など、多くの興味深い性質を持つことから、数学の様々な分野で研究されています。本稿では、テンソル代数の基礎的な性質を解説しましたが、より深い理解のためには、関連文献を参照することをお勧めします。

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