クリフォード代数

クリフォード代数の概要

数学において、クリフォード代数 (Clifford algebra) は、二次形式という概念を備えたベクトル空間から生成される、結合多元環の一種です。実数、複素数、四元数といった数体系を包含する、より一般的な代数構造として捉えることができます。クリフォード代数の理論は、二次形式や直交変換の理論と密接に関連しており、幾何学、理論物理学、デジタル画像処理など、幅広い分野で重要な応用が発見されています。その名は、イギリスの幾何学者ウィリアム・キングドン・クリフォードに由来しています。

最もよく知られるクリフォード代数は、直交クリフォード代数 (orthogonal Clifford algebra) またはリーマンクリフォード代数 (Riemannian Clifford algebra) と呼ばれるものです。

導入と基本的性質

クリフォード代数は、体 K 上のベクトル空間 V と、V 上の二次形式 Q を用いて定義されます。クリフォード代数 Cℓ(V, Q) は、以下の条件を満たす V から生成される「最も自由な」代数として特徴づけられます。

すべての v ∈ V に対して、v² = Q(v)1

ここで、左辺の積はクリフォード代数における積であり、1 は乗法単位元です。この基本関係式は、K の標数が 2 でない場合、次のように書き直すことができます。

すべての u, v ∈ V に対して、uv + vu = 2⟨u, v⟩1

ここで、⟨u, v⟩ は Q から極化恒等式によって得られる対称双線型形式です。標数が 2 の場合、二次形式とクリフォード代数の性質は特殊な扱いが必要です。

外積代数の量子化として

クリフォード代数は、外積代数と深い関係があります。Q = 0 の場合、クリフォード代数 Cℓ(V, Q) は外積代数 ⋀(V) と一致します。Q ≠ 0 かつ K の標数が 2 でない場合、⋀(V) と Cℓ(V, Q) の間には自然なベクトル空間としての同型が存在しますが、乗法構造は異なります。クリフォード代数は、外積代数の「量子化」と見なすことができます。これは、ワイル代数が対称代数の量子化であるのと同様です。

普遍的な性質と構成

クリフォード代数 Cℓ(V, Q) は、普遍的な性質によって定義されます。任意の結合代数 A と線型写像 j: V → A (j(v)² = Q(v)1A) が与えられたとき、Cℓ(V, Q) から A への多元環準同型 f (f ∘ i = j) が一意的に存在します。ここで、i: V → Cℓ(V, Q) は包含写像です。

クリフォード代数は、テンソル代数 T(V) を、v⊗v − Q(v)1 (v ∈ V) の形をした元で生成される両側イデアルで割ることで構成できます。

基底と次元

V の次元が n で、{e₁, ..., eₙ} が V の直交基底であれば、Cℓ(V, Q) の基底は、eᵢ₁eᵢ₂...eᵢₖ (1 ≤ i₁ < i₂ < ... < iₖ ≤ n, 0 ≤ k ≤ n) の形をした元で与えられます。したがって、Cℓ(V, Q) の次元は 2ⁿ となります。

実および複素のクリフォード代数

最も重要なクリフォード代数は、非退化二次形式を備えた実および複素ベクトル空間上のものです。実クリフォード代数 Cℓp,q(R) は、p 個の正の固有値と q 個の負の固有値を持つ二次形式を持つ実ベクトル空間上のクリフォード代数です。複素クリフォード代数 Cℓₙ(C) は、n 次元複素ベクトル空間上のクリフォード代数です。

実係数の場合

実クリフォード代数は幾何代数として知られており、幾何学的解釈が重要です。Cℓ₀,₀(R) ≅ R, Cℓ₀,₁(R) ≅ C, Cℓ₀,₂(R) ≅ H (四元数体) などとなります。

複素係数の場合

Cℓ₀(C) ≅ C, Cℓ₁(C) ≅ C ⊕ C, Cℓ₂(C) ≅ M(2, C) などとなります。

例：四元数と双対四元数の構成

クリフォード代数は、四元数や双対四元数を構成する枠組みを提供します。四元数は Cℓ₀,₃(R) の偶部分代数として、双対四元数は退化二次形式を持つ実四次元空間の偶クリフォード代数として構成できます。

性質

外積代数との関係

クリフォード代数は外積代数の量子化と見なすことができます。K の標数が 2 でない場合、クリフォード代数と外積代数の間には自然なベクトル空間としての同型が存在します。

次数付け

クリフォード代数は Z₂-次数代数です。これは、ベクトル空間 V 上の反射に対応する自己同型 α: Cℓ(V, Q) → Cℓ(V, Q) を用いて定義されます。

クリフォードスカラー積

二次形式 Q はクリフォード代数全体に拡張できます。

クリフォード代数の構造

クリフォード代数の構造は、ベクトル空間の次元と二次形式の符号によって決定されます。

クリフォード群、スピノルノルム、スピン群とピン群、スピノル、実スピノル

これらの概念は、クリフォード代数と密接に関連した群論的構造と、その表現論について解説する部分です。クリフォード群、スピノルノルム、スピン群、ピン群、スピノル、実スピノルの定義と性質、それらの関係性について詳細な説明があります。

応用

クリフォード代数は、微分幾何学、物理学、コンピュータビジョンなど、様々な分野に応用されています。特に、物理学においては、ディラック方程式を記述する際にクリフォード代数が用いられています。コンピュータビジョンでは、動作認識や分類の問題への応用が研究されています。

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