対称代数

対称代数：詳細解説

数学における対称代数は、ベクトル空間から構築される重要な代数構造です。本記事では、対称代数の定義、構成方法、関連概念との関係性、そしてその性質について詳細に解説します。

1. 対称代数の定義

体 K 上のベクトル空間 V に対し、対称代数 S(V) は V を含む K 上の自由可換単位的結合代数として定義されます。これは、V の元を不定元とする多項式環と本質的に等価です。S(V) の元は、座標系の取り方によらず、V の元の多項式として表現できます。また、S(V) の双対空間 S(V) は V 上の多項式関数に対応します。対称代数は、しばしば対称テンソル空間と混同されますが、両者は異なる概念です。

2. 対称代数の構成

対称代数は、テンソル代数 T(V) を用いて構成できます。T(V) は V のテンソル積の全体からなる代数ですが、これは非可換です。対称代数 S(V) は、T(V) を「可換化」することで得られます。具体的には、T(V) のイデアル I を、v⊗w - w⊗v (v, w ∈ V) の形の元で生成し、T(V)/I として構成します。この商代数が、まさに可換な対称代数 S(V) となります。

3. 次数付け

多項式環と同様に、対称代数 S(V) は次数付き代数として分解されます。すなわち、S(V) = ⊕k=0∞ Sk(V) と表せます。ここで、Sk(V) は V のベクトルからなる次数 k の単項式の線形結合全体です。Sk(V) は V の k 次対称冪と呼ばれ、例えば k=2 の場合は対称平方 Sym²(V) となります。k 次対称冪は、Vk 上の対称多重線形写像に関する普遍性を持ちます。

4. 対称テンソルとの違い

対称代数と対称テンソル空間は混同しやすいですが、根本的な違いがあります。対称代数はテンソル代数の商代数であるのに対し、対称テンソル空間はテンソル代数の部分線形空間です。対称代数は普遍性を満たすために商代数である必要があります。一方、対称テンソル空間はテンソル代数への対称群の作用に関する不変元として定義され、対称群は対称テンソル空間に自明に作用します。重要なのは、対称テンソル空間はテンソル積に関してテンソル代数の部分代数にならないということです。標数 0 の場合、対称テンソル空間と対称代数は同一視できます。これは、対称化作用素が次数付き線形空間としての同型を与えるためです。

5. 多項式としての解釈

ベクトル空間 V 上の多項式関数の全体は、対称代数の双対空間 S(V) とみなせます。V のベクトルにおける多項式関数の値は、内積 S(V) × V → K を通じて評価できます。例えば、平面 K² 上の一次多項式関数の全体は、座標汎関数 x, y で生成されます。高次の単項式は対称冪の元であり、一般の多項式は対称代数の元となります。

6. アフィン空間の対称代数

ベクトル空間と同様に、アフィン空間からも対称代数を構成できます。ただし、アフィン空間上の対称代数は次数付き代数にはなりませんが、フィルター付き代数になります。

7. 圏論的性質

ベクトル空間上の対称代数は、可換多元環の圏における自由対象です。これは、ベクトル空間からその対称代数への写像が、可換多元環の圏からその台となるベクトル空間への忘却函手の左随伴であることを意味します。

8. 外積代数との類似と相違

対称冪 Sk は外冪と類似していますが、次元は異なります。V の次元を n とすると、dim(Sk(V)) = (n+k-1)Ck となります。これは、k 次の n 変数単項式の数に等しく、k の増加と共に大きくなります。

9. 加群の対称代数

対称代数の構成は、可換環上の加群 M に一般化できます。M が自由加群の場合、その対称代数は M の基底を不定元とする多項式環と同型になります。しかし、自由でない加群の場合は構造が複雑になります。

10. 普遍包絡環としての対称代数

対称代数 S(V) は、可換リー環（リー括弧積が常に 0 であるリー環）の普遍包絡環となります。

参考文献

Bourbaki, Nicolas (1989), Elements of mathematics, Algebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9

関連項目

外積代数
ワイル代数
クリフォード代数

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