外積代数

外積代数入門

外積代数（グラスマン代数）は、19世紀の数学者ヘルマン・グラスマンによって導入された代数系です。ベクトルの外積や楔積と呼ばれる演算を定義し、面積や体積といった幾何学的な概念を抽象的に表現する枠組みを提供します。線型代数、微分幾何学、代数幾何学、さらには物理学など、様々な分野で重要な役割を果たしています。

ベクトルの外積と楔積

ベクトルの外積は、クロス積をより高次元へ一般化した概念です。2つのベクトルu, vの外積u∧vは、uとvが張る平行四[[辺形]]の符号付き面積を表す2次元ベクトルとして解釈できます。この符号付き面積の絶対値は通常の意味での面積であり、符号はuとvの順序によって決まる向きを表しています。高次元の場合も同様で、k個のベクトルの外積は、それらが張るk次元平行体の符号付き体積を表します。

楔積∧は外積の演算記号で、結合的かつ双線型です。重要な性質として、任意のベクトルvに対してv∧v=0が成立します。これは、平行四[[辺形]]の一辺の長さが0になれば面積が0になることに対応しています。また、u∧v=-v∧uという交代性も持っています。これは、平行四[[辺形]]の辺の順序を交換すると、向きが反転することに対応しています。

外積代数の定義と性質

外積代数Λ(V)は、与えられたベクトル空間V上の外積によって生成される多元環です。Vのk次外冪Λk(V)は、Vのk個のベクトルの楔積で生成されるΛ(V)の部分空間です。Λk(V)の元はk重ベクトルと呼ばれ、Vのk個のベクトルの楔積として表すことができるものを分解可能k重ベクトルといいます。分解可能ではないk重ベクトルも存在します。

Λ(V)は、Λ0(V)⊕Λ1(V)⊕Λ2(V)⊕…という次数付き代数の構造を持ちます。ここでΛ0(V)は係数体K、Λ1(V)はV自身に相当します。Λk(V)の次元はVの次元nを用いてnCkで表されます。

外積代数の普遍性

外積代数は、以下の普遍性を持ちます。任意の単位的結合多元環Aと線型写像j:V→Aであってj(v)j(v)=0を満たすものに対して、準同型写像f:Λ(V)→Aでf(v)=j(v)を満たすものが唯一つ存在します。この普遍性によって、外積代数はVを含む最も一般的な交代的な多元環として特徴づけられます。

双対性とホッジ双対性

Vの双対空間Vを考えると、Λk(V)の元はVのk個のベクトルから係数体への重線型交代形式を表します。外積代数の双対性によって、Λk(V)とΛk(V)の間に自然な対応関係が成り立ちます。

Vが有限次元の場合、ホッジ双対性と呼ばれる自然な同型写像:Λk(V)→Λn-k(V)が存在します。これは、Vに内積が定義されている場合に、k重ベクトルをn-k重ベクトルに対応付ける写像です。

内部積

Vの双対空間V*の元αとΛk(V)の元wに対して、内部積iαwはΛk-1(V)の元で、αに関する縮約とも呼ばれます。内部積は、次数付き微分という性質を持ち、様々な幾何学的解釈が可能です。

応用

外積代数は、線型代数、射影幾何学、微分幾何学など、様々な分野で応用されています。線型代数では、行列式や小行列式を記述するための抽象的な枠組みを提供し、微分幾何学では微分形式の理論の基礎となります。また、物理学、特に量子力学や場の量子論においても重要な役割を果たしています。

歴史

外積代数は、グラスマンによって1844年に初めて導入されました。その後、ペアノやポアンカレ、カルタンらによって研究が進められ、現代的な抽象代[[数学]]の基礎を築く上で重要な役割を果たしました。

関連文献

外積代数のより詳細な解説や証明については、参考文献に挙げられている書籍や論文を参照してください。特にBourbakiの"Elements of mathematics, Algebra I"は、この分野の標準的な参考文献です。

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