ディオファントス近似

ディオファントス近似とは



ディオファントス近似(英: Diophantine approximation)とは、ある実数を有理数などの単純な数で近似する方法やその理論を扱う数学の一分野です。この概念は、古代アレクサンドリアの数学者ディオファントスに因んで名付けられました。

近似の基本概念


ディオファントス近似の基本的な問題は、実数が有理数によってどの程度良く近似できるかを明らかにすることです。ここで、有理数 p/q が実数 α の「良い近似」とされるのは、p/q と α の差の絶対値が、分母が小さい別の有理数によって置き換えた場合でも小さくならないときです。この問題は、連分数の理論によって18世紀に解決されました。

上下界の探求


与えられた数の「最良の」近似を特定することができ、その後の研究は上記の差の良い上界や下界を分母関数として表現することに焦点を当てます。これにより、近似される実数の性質が判明することになります。有理数の近似に対する下界は、代数的数に比べて大きくなり、代数的数に対する上下界は全ての実数に対する下界よりも大きいです。このため、超越数は代数的数よりも良く近似できることが分かります。この発見を踏まえ、1844年にはリウヴィルが最初の明示的な超越数を生成しました。後には円周率 π や自然対数の底 e についても超越性が証明されました。

無理数に対する近似法


ディオファントス近似は、無理数や超越数の研究とも深く関わっています。代数的数の場合、近似精度はその次数や高さに依存します。不定方程式など、数学の他の多くの問題もディオファントス近似に還元されることがあります。例えば、y²=2x²-1 の整数解は、2 の平方根のディオファントス近似に結びついています。

ディリクレの定理


ディリクレの定理は、任意の無理数 α に対して、次のような整数 x と y が存在することを示しています。具体的には、

x - yα
< 1/y

この不等式は、誤差が 1/y² 以下となるように、近似の有理数 x/y を得ることに言い換えられます。円周率 π の場合、近似値として 3141/1000 が得られ、この差は 1/1000 より小さいですが、さらに良い近似を示すことも可能です。

例えば、355/113 という有理数は、下記の条件を満たしており、誤差は非常に小さい値となります。これにより、ディオファントス近似の手法が優れた数列の近似を提供し得ることが示されています。

リウヴィルの定理とその進展


1840年代にはリウヴィルによって、代数的数の近似に対する下界が初めて示されました。この結果以降、2次以上の実代数的数に対して、上界を改良する研究が進みました。ロスによる定理では、特定の条件を満たした場合において、超越数が持つ性質に基づいた近似の下界が示されています。これにより、今なおディオファントス近似と超越数論の結びつきは現在の研究においても重要視されています。

ディオファントス近似は、数論の魅力的な一角であり、無理数や超越数の理解を深めるための貴重な道具を提供します。そして、具体的な問題に適用されることによって、多くの数学的議論の発展に寄与しています。

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