ディラック・スピノル

ディラックスピノル

ディラックスピノルは、場の量子論において、電子やクォークなどのフェルミ粒子を記述するために用いられるスピノルです。ディラック方程式の解として現れる平面波の中に、その具体的な形を見ることができます。

定義

ディラックスピノルは、自由粒子のディラック方程式を満たす平面波解におけるバイスピノルとして定義されます。

具体的には、以下の式で表されます。

$$\psi = \omega_{\vec{p}} \exp(-ipx)$$

ここで、$\psi$ は相対的なスピン1/2の場、$\omega_{\vec{p}}$ は波数ベクトル $\vec{p}$ を持つ平面波に関連するディラックスピノル、そして $px$ は $p_{\mu}x^{\mu} = Et - \vec{p} \cdot \vec{x}$ で定義される四元波数ベクトルと四元座標の内積です。

ディラック方程式からの導出

ディラック方程式は、以下の形式で表されます。

$$(i\hbar \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - mc)\psi = 0 \Rightarrow (i\gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m)\psi = 0$$

ここで、$c = \hbar = 1$ としています。この方程式から、ディラックスピノルの具体的な形を導出することができます。

まず、行列 $\alpha$ と $\beta$ を以下のように定義します。

$\alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}, \quad \beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$

ここで、$\sigma_i$ はパウリ行列、$\mathbf{0}$ と $\mathbf{I}$ は 2 × 2 のゼロ行列と単位行列です。これらの行列を用いて、ディラック方程式を解くことで、ディラックスピノルの形式を得ることができます。

4成分スピノルの導出

4成分スピノル $\omega$ を導出するために、まず $\omega$ を2つの2成分スピノル $\phi$ と $\chi$ に分割します。

$$\omega = \begin{pmatrix} \phi \\ \chi \end{pmatrix}$$

これらのスピノルを用いてディラック方程式を書き換えると、以下の2つの対になる方程式が得られます。

$$(E - m)\phi = (\sigma \cdot p)\chi$$

$$(E + m)\chi = (\sigma \cdot p)\phi$$

これらの式から、$\chi$ と $\phi$ をそれぞれ解くことで、ディラックスピノルの具体的な形を求めることができます。

$\chi = \frac{\sigma \cdot p}{E + m} \phi$$

$\phi = \frac{\sigma \cdot p}{E - m} \chi$$

ディラック・スピノルとディラック代数

ディラック表記におけるガンマ行列は、4×4行列の組であり、スピンや電荷の演算子として用いられます。これらの行列を用いることで、ディラックスピノルの性質をより深く理解することができます。

まとめ

ディラックスピノルは、場の量子論においてフェルミ粒子を記述するための重要な概念です。ディラック方程式の解として現れ、ローレンツ変換の下で特定の変換性を示します。本稿では、ディラック表現におけるディラックスピノルの定義、導出、そしてディラック代数との関係について解説しました。これらの知識は、素粒子物理学や物性物理学などの分野において、基本的な理解を深める上で不可欠です。

もう一度検索