デカルトモノイド圏

デカルトモノイド圏（Cartesian Monoidal Category）

圏論という数学分野において、デカルトモノイド圏、あるいは単にデカルト圏と呼ばれる構造があります。これは、特別な性質を持つモノイド圏の一種で、そのモノイド積（しばしばテンソル積と呼ばれる演算）が、圏論における対象間の直積に対応しているものです。有限個の対象に対して直積が存在するような圏（有限積圏）は、自然な形でデカルトモノイド圏として捉えることができます。この構造においては、圏が持つ終対象（任意の対象からそこへの射が唯一存在する特別な対象）が、モノイド単位元としての役割を果たします。

これと双対的な概念として、余デカルトモノイド圏があります。これは、モノイド積が圏論的な余積（直積の双対）に対応し、圏の持つ始対象（そこから任意の対象への射が唯一存在する対象）がモノイド単位となる構造です。有限余積を持つ圏は、この余デカルトモノイド圏と見なすことができます。

さらに、デカルトモノイド圏が特定の性質を満たすとき、すなわち、対象の直積を取る操作に関連するHom関手と呼ばれるものが随伴を持つ場合に、その圏はデカルト閉圏と呼ばれます。これは型付きラムダ計算など、計算機科学の理論において非常に重要な構造です。

性質

デカルトモノイド圏はその定義から導かれる、いくつかの特有かつ重要な性質を備えています。例えば、任意の対象 `x` に対して、自分自身との直積への射 `Δx: x → x × x` （対角射と呼ばれる）や、モノイド単位対象 `I` （終対象）への射 `ex: x → I` （添加射と呼ばれる）が存在します。

これらの射は、計算機科学の分野で、データを『複製』する操作（対角射 `Δx`）や、データを『消去』する操作（添加射 `ex`）と見なすことができます。これらの特別な射 `Δx` と `ex` は、デカルトモノイド圏における任意の対象に、自然な余モノイド（comonoid）構造を与えます。実際、デカルトモノイド圏の任意の対象は、これらの射によって一意的な方法で余モノイドとなることが知られています。

例

デカルトモノイド圏の具体的な例としては、以下のようなものがよく知られています。

集合の圏 (Set): 対象は集合、射は写像です。二つの集合の直積がモノイド積となり、任意の一点集合（シングルトン集合）がモノイド単位対象（終対象）となります。
小さい圏の双圏 (Cat): 対象は小さい圏、射は関手です。二つの圏の直積がモノイド積となり、ただ一つの対象と一つの恒等射のみからなる圏がモノイド単位対象（終対象）となります。

一方、余デカルトモノイド圏の例としては、以下のようなものがあります。

与えられた体上のベクトル空間の圏 (Vect): 対象はベクトル空間、射は線形写像です。ベクトル空間の直和がモノイド積となり、零ベクトルのみからなる自明なベクトル空間がモノイド単位対象（始対象）となります。
アーベル群の圏 (Ab): 対象はアーベル群、射は群準同型写像です。アーベル群の直和がモノイド積となり、単位元のみからなる自明な群が単位対象（始対象）となります。
環 R 上の加群の圏 (R-mod): 可換とは限らない環 R 上の（左）R-加群の圏も、加群の直和をモノイド積とし、自明な加群を単位対象（始対象）とする余デカルトモノイド圏となります。

双積との関連

上に挙げたベクトル空間、アーベル群、加群の圏といった余デカルトモノイド圏の興味深い性質として、これらの圏では有限個の対象に対する直積と余積が一致する、すなわち互いに同型になるという点が挙げられます。このような構造は双積（biproduct）と呼ばれ、特にこれらの圏が加法圏であることと関連が深いです。双積を持つ圏では、対象 `Xj` の双積 `X` に対して、各 `Xj` から `X` への包含射 `ij: Xj → X` と、`X` から各 `Xj` への射影 `pj: X → Xj` が存在し、`pj ∘ ik` は `j=k` のときに恒等射 `idXj` となり、そうでないときに零射となる関係を満たします。これは、これらの圏が零対象（始対象かつ終対象である特別な対象）を持つことと関連しており、加法圏の基本的な構造を示すものです。詳細については、加法圏や前加法圏に関する項目を参照してください。

関連項目

デカルト閉圏
モノイド圏
直積
余積
終対象
始対象
加法圏
* 前加法圏

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