Hom関手

Hom関手

圏論の基本的な概念の一つに「射」があります。これは圏の「対象」と対象の間を結ぶ「構造を保つ写像」のようなものです。ある対象Aから別の対象Bへの射の全体は一つの集まりをなしますが、この集まりを「hom-set」（ホムセット）あるいは「hom-クラス」と呼びます。局所的に小さな圏と呼ばれる種類の圏においては、このhom-クラスは常に集合となります。

Hom関手は、この射の集合という構造を捉えるための強力なツールです。具体的には、圏Cの対象AとBに対して、AからBへの射の集合 Hom(A, B) を、集合の圏 $\mathbf{Set}$ の対象として定めます。さらに、圏Cの射に対しても、射の合成を利用して集合間の写像を定義することで、これは圏Cから集合の圏$\mathbf{Set}$ への関手となります。

この関手には二つの形があります。一つは、対象Bを固定し、第一引数を動かす Hom(_, B) という形の関手です。これは圏Cから$\mathbf{Set}$ への反変関手となります（射の向きが逆転します）。もう一つは、対象Aを固定し、第二引数を動かす Hom(A, _) という形の関手です。こちらは圏Cから$\mathbf{Set}$ への共変関手となります。

双関手性

Hom関手は、実際には二つの引数を持つ「双関手」と考えることができます。具体的には、圏Cの対象AとBのペア $(A, B)$ を、射の集合 Hom(A, B) へ写します。このとき、第一引数に関しては反変、第二引数に関しては共変であることから、$\mathbf{Set}$ への双関手 Hom(_, _) としては、圏Cの逆圏 $C^{\mathrm{op}}$ とCの直積圏 $C^{\mathrm{op}} \times C$ から$\mathbf{Set}$ への関手、$C^{\mathrm{op}} \times C \to \mathbf{Set}$ と見なされます。この双関手の振る舞いは、任意の射 $f: B \to B'$ と $h: A' \to A$ が与えられたときに、Hom(A, B) の任意の射 $g: A \to B$ を $f \circ g \circ h: A' \to B'$ へ写す操作が、図式の可換性を満たすことによって示されます。

米田の補題との関係

Hom関手は、圏論の中心的な定理である米田の補題と深く関わっています。米田の補題は、Hom関手 Hom(A, _)（あるいは反変の Hom(_, A)）と、他の関手 F との間の自然変換の構造を明らかにします。特に、Hom(A, _) から Hom(A', _) への自然変換は、対象A'からAへの射hから誘導される Hom(h, _) という形のものに限られる、と米田の補題は主張します。この事実は、Hom関手が圏Cから関手圏 $\mathbf{Set}^{C^{\mathrm{op}}}$ への充満かつ忠実な埋め込み関手（米田埋め込み）を与えることを意味しており、圏Cの構造がHom関手の言葉で完全に記述できることを示唆しています。

内部Hom関手

Hom関手は値を集合の圏$\mathbf{Set}$ に持ちますが、圏C自身に値を持ち、同様の性質を持つ関手も存在します。これを「内部Hom関手」と呼び、通常 $[ _, _ ]$ や $\Rightarrow$、または小文字で $\text{hom}(_, _)$ と表記されます。内部Hom関手 $\text{hom}(_, _): C^{\mathrm{op}} imes C \to C$ が存在する圏は「閉圏」と呼ばれます。

閉モノイダル圏と呼ばれる圏では、内部Hom関手は圏の積構造（モノイド積 $\otimes$）と密接に関連します。ここでは、カリー化と呼ばれる重要な性質、すなわち Hom$(X, Y \Rightarrow Z) \simeq$ Hom$(X \otimes Y, Z)$ という同型が成り立ちます。これは、内部Hom関手 $Y \Rightarrow -$ がモノイド積関手 $- \otimes Y$ の右随伴関手であることを意味します。モノイド積がデカルト積の場合、対象 $Y \Rightarrow Z$ は指数対象と呼ばれ、$Z^Y$ と書かれることもあります。
内部Hom関手は、圏の内部言語と呼ばれる論理体系と対応付けられることもあり、デカルト閉圏と単純型付きラムダ計算、対称モノイダル閉圏と線形型システムなどの関係が知られています。

その他の性質

Hom関手には他にも様々な重要な性質があります。

反変関手 Hom(_, A) は「前層」と呼ばれ、共変関手 Hom(A, _) は「余前層」とも呼ばれます。
ある関手 F が Hom(A, _) と自然同型であるとき、Fは「表現可能関手」と呼ばれます。
双関手 Hom(_, _) は、圏Cにおける恒等プロファンクタと同一視されます。
内部Hom関手は、圏Cにおける極限や余極限の構造を保存する性質を持ちます。
アーベル圏においては、Hom関手は左完全関手となり、射影対象の定義にも関連します。
加群の圏においては、Hom関手はある種のテンソル積関手の右随伴関手として現れます。

このように、Hom関手は圏論における基本的な構成要素であると同時に、自然変換、関手圏、随伴性、閉圏、表現可能性といった、より高度な概念を理解するための鍵となる非常に重要な概念です。

参考文献

Mac Lane, S. (1998). Categories for the Working Mathematician.
Goldblatt, R. (2006). Topoi, the Categorial Analysis of Logic.
Jacobson, N. (2009). Basic algebra. 2* 2.

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