ドナルドソンの定理

数学、特にトポロジーと呼ばれる分野において、空間の形や構造を研究する中で登場するのが「多様体」です。ドナルドソンの定理は、特別な次元である「4次元」の多様体に関する極めて重要な結果として知られています。この定理は、サイモン・ドナルドソンによって証明され、4次元多様体の理解に革新をもたらしました。

定理の内容

ドナルドソンの定理は、以下の内容を主張します。まず対象とするのは、次元が4であることに加え、「単連結」（簡単に言えば、どの閉じたループも一点に縮められる、穴のない空間）で、「滑らかな」構造を持つ多様体です。「滑らかな」多様体とは、微分積分学の道具が使えるように、局所的にユークリッド空間のように見え、その貼り合わせ方が滑らかであるような空間です。

このような4次元の単連結な滑らかな多様体に対して、「交叉形式」と呼ばれる代数的な構造を考えることができます。交叉形式は、多様体の内部にある曲面同士の交わり方など、その位相的な性質を捉えるものです。これは整数係数の対称双一次形式として表され、行列で表現することができます。

ドナルドソンの定理の核心は、この交叉形式が「定値」であるならば、すなわち、その行列が常に正の値を取る（正定値）か、常に負の値を取る（負定値）場合、その交叉形式は必ず整数行列として「対角化可能」であるという点です。さらに具体的には、正定値ならば整数上の単位行列に、負定値ならばその負の単位行列に、それぞれ合同変換によって対角化できることを示しています。これは、定値な交叉形式を持つ4次元の滑らかな多様体においては、その代数的な構造が極めて単純な形に帰着されることを意味します。

定理の背景と意義

4次元多様体の研究は、他の次元の多様体と比べて特異な性質を持つことが知られており、その構造は非常に複雑です。特に、位相的な構造（空間の基本的な形）と微分可能な構造（滑らかさ）の関係が、4次元では他の次元と大きく異なります。低次元（1, 2, 3次元）では、位相的な構造が決まれば微分可能な構造もほぼ一意に決まるのに対し、4次元ではそうではありません。ドナルドソンの定理は、この4次元の特殊性を浮き彫りにする上で決定的な役割を果たしました。滑らかな構造を持つ多様体に対して、その位相的な情報の一部である交叉形式に強い制約（定値なら対角化可能）を与えるからです。

関連研究との結びつき

ドナルドソンの定理の持つ深い含意は、同じく数学者のマイケル・フリードマンが証明した別の重要な定理と組み合わせることで、より明確になります。フリードマンは、任意の「ユニモジュラー対称二次形式」（整数係数の特定の種類の対称行列）は、何らかの「位相多様体」（滑らかさは仮定しない、より一般的な空間）の交叉形式として必ず実現できることを示しました。

このフリードマンの結果、ドナルドソンの定理、そして二次形式の分類に関するセールの定理を結びつけると、4次元多様体の構造について以下の驚くべき結論が得られます。

1. 微分構造を持たない多様体の存在: 整数係数のユニモジュラー二次形式の中には、対角化できないものが存在することが知られています。フリードマンの定理によれば、このような対角化できない二次形式を交叉形式として持つ4次元の位相多様体が存在します。一方で、ドナルドソンの定理は、もしその多様体が「滑らかな」構造を持っていたならば、定値な交叉形式は必ず対角化できると述べています。このことから、対角化できない定値交叉形式を持つ4次元位相多様体は、決して滑らかな構造を持ち得ない、つまり「微分不可能」であると結論づけられます。これは、4次元の世界では、位相的には同じ形をしていても、滑らかな構造を持つものとそうでないものが明確に区別されるという、他の次元には見られない現象が存在することを示しています。

2. 同相性と交叉形式の関係: 単連結な2つの滑らかな4次元多様体が、位相的に同じ形をしている（同相である）ことと、それらの多様体の交叉形式が、その代数的な性質である「ランク」（行列のサイズや次元に相当）、「符号」（正の固有値と負の固有値の数の差）、「パリティ」（偶数か奇数かといった性質）の全てにおいて一致することとは、全く同値な条件であることが明らかになりました。これは、滑らかな単連結4次元多様体においては、その位相的な構造が、交叉形式という比較的単純な代数的不変量によってほぼ完全に捉えられるという、非常に強力な結果です。

まとめ

ドナルドソンの定理は、4次元の滑らかな多様体が持つ代数的な性質（定値交叉形式の対角化可能性）を解明することで、4次元特有の位相構造と微分構造の間の複雑な関係に光を当てました。この定理とその周辺の理論の発展により、4次元多様体の研究は飛躍的に進歩し、その特異な性質の理解が進みました。特に、位相的には存在するが滑らかにできない多様体の存在を明らかにした点は、その後の数学研究に大きな影響を与えました。

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