ニールセンの不動点定理

ニールセンの不動点定理

数学にはさまざまな不動点定理が存在しますが、その中でも特に注目されるのがニールセンの不動点定理です。この定理は位相幾何学の一部として知られ、コンパクト空間からその自身への写像に関する重要な結果を提供します。デンマークの数学者ヤコブ・ニールセンによって提唱されたこの理論は、写像の不動点に関する理解を深める上で不可欠なものとなっています。

ニールセンの極小数とその定義

ニールセンの不動点定理の中心には、極小数という概念があります。この極小数は、ある写像 f に対して定義され、次のように表されます：

$$
MF[f] = ext{min} ig\{ ext{ extnumber{Fix}}(g) ig| g ext{は} f ext{とホモトピック}ig"}
$$

ここで、ホモトピーとは、二つの写像が「連続的に変形できる」ことを示す数学的関係です。$ ext{ extnumber{Fix}}(g)$ は写像 g の不動点の数を示し、MF[f]はその中で最小の不動点数をもつ写像を求めることを意味します。ニールセンの時代には、この極小数を計算することは難易度が高く、現在でもこの計算は容易ではありません。

ニールセンの分類法

ニールセンは不動点の集合をホモトピーに基づき「本質的」と「本質的でない」とに分類しました。この分類によって、不動点の性質をより明確に理解することが可能になりました。具体的には、空間 X 上の自己写像 f において、不動点の集合に対し同値関係を定義し、異なる不動点の間に存在する道がホモトピックであるかどうかに基づいています。この同値関係のクラスをニールセン類と呼び、そこから不動点指数の和がゼロでないニールセン類の数をニールセン数 $N(f)$ として定義します。

不等式と定理の導出

ニールセンは以下の不等式を示しました：

$$
N(f) ext{≤} MF[f].
$$

この不等式によって、計算の進んでいなかったMF[f]を評価する道が開かれます。この結果により、任意の写像は少なくとも $N(f)$ 個の不動点を持つことが証明され、これが「ニールセンの不動点定理」として知られています。

ニールセン数とレフシェッツ数の関係

ニールセン数は特にレフシェッツ数と関連しており、これらは不変量として数学のさまざまな応用を持ちます。ニールセンの理論が確立されて以降、これら二つの概念はウェッケンとライデマイスターによって「一般化レフシェッツ数」として統合され、さらに最近ではライデマイスター跡（Reidemeister trace）としても知られるようになりました。

参考文献

• - Fenchel, Werner; Nielsen, Jakob; edited by Asmus L. Schmidt (2003). Discontinuous groups of isometries in the hyperbolic plane. De Gruyter Studies in mathematics. 29. Berlin: Walter de Gruyter & Co.

このように、ニールセンの不動点定理は数学の発展に大きな貢献を果たし、現代のページにも息づいています。

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