ハール測度

ハール測度詳解

解析学において、ハール測度は局所コンパクト位相群上で定義される、非常に重要な概念です。本稿では、ハール測度の定義、性質、関連する概念、そして具体的な例を交えながら、その詳細を解説します。

ハール測度の定義

G を局所コンパクト群とします。G のコンパクト集合全体から生成される完全加法族を B とします。このとき、左ハール測度とは、B から非負実数または無限大への写像 μ であり、以下の条件を満たすものです。

1. G の任意のコンパクト集合 K に対して、μ(K) は有限値です。
2. G の任意の開集合 O に対して、μ(O) は O に含まれるコンパクト集合 K の測度の上限で表せます。つまり、μ(O) = sup{μ(K) | K ⊂ O, K はコンパクト} です。
3. G の任意の部分集合 S に対して、μ(S) は S を含む開集合 O の測度の下限で表せます。つまり、μ(S) = inf{μ(O) | O ⊃ S, O は開集合} です。
4. G の任意の元 g と B に属する任意の集合 S に対して、μ(gS) = μ(S) が成り立ちます。ここで、gS は S の左移動 gS = {gs | s ∈ S} を表します。

条件 2 と 3 は測度の正則性を意味します。条件 4 は左不変性を意味します。右ハール測度は、左移動ではなく右移動 gS = {sg | s ∈ S} に関する不変性を用いて定義されます。

ハール測度は、正定数倍の違いを除いて一意に定まります。つまり、μ と μ' が G 上の二つの左ハール測度であれば、正の定数 c が存在して μ = cμ' となります。左ハール測度と右ハール測度は、群の元を逆元にする操作によって互いに移り変わります。

不変汎関数

ハール測度は、不変汎関数とも密接に関連しています。G 上のコンパクト台を持つ複素数値連続関数のなすベクトル空間を Cc(G) とし、その連続的双対空間を M(G) とします。

左ハール測度 μ に対して、Cc(G) の元 f を μ に関する積分に対応させる汎関数 Φ: f → ∫G f(x)dμ(x) は左不変ハール汎関数です。逆に、左不変ハール汎関数 Φ が与えられれば、それに対応する左ハール測度 μ が存在します。

例

いくつかの具体的な例を見てみましょう。

通常のルベーグ測度：R^n 上の通常のルベーグ測度 dx は、加法に関する位相群 R^n のハール測度です。
乗法的なルベーグ測度：正の実数全体の乗法群 R^+ 上の測度 dx/x はハール測度です。
* 有限群：有限群 G 上の数え上げ測度は、ハール測度です。

モジュラー関数

G を局所コンパクト群、μ を G 上の左ハール測度とします。G の元 g による右移動 Rgμ は、再び左不変測度となります。ハール測度の一意性より、Rgμ = ΔG(g)μ となる G 上の正値関数 ΔG が存在します。この ΔG を G のモジュラー関数と呼びます。

モジュラー関数が恒等的に 1 に等しいとき、G はユニモジュラーであるといいます。アーベル群やコンパクト群はユニモジュラーです。

局所コンパクト体上のモジュール

モジュラー関数の概念は、局所コンパクト体 K 上のモジュールに一般化できます。K の加法群への乗法群 K× の左移動作用 Ls: x → sx のモジュール modK(s) は、絶対値の概念の一般化とみなすことができます。例えば、実数体 R 上では modR(s) = |s| となります。

まとめ

ハール測度は、局所コンパクト群の構造を理解する上で重要な役割を果たす概念です。その定義、性質、関連する概念を理解することで、数学、特に解析学における幅広い分野への応用が可能になります。本稿がその理解の一助となれば幸いです。

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