バンド図

半導体におけるバンド図：エネルギー準位と空間の相互作用

半導体の固体物理学において、バンド図は物質内部の空間座標と電子エネルギー準位の関係を示す重要な図解です。この図は、フェルミ準位や伝導帯端、価電子帯端といった主要なエネルギー準位を、空間の位置（x座標で表されることが多い）の関数としてプロットすることで、半導体デバイスの動作原理を理解する上で大きな助けとなります。特に、空間的位置によるバンドの曲がり（バンドベンディング）を視覚的に捉えることができる点が重要です。

バンド図は、エネルギー準位の占有状態を色分けして表示されることが多く、直感的な理解を促進します。しかし、バンド構造図と混同しないように注意が必要です。両図とも縦軸は電子のエネルギーを表しますが、横軸が異なります。バンド構造図の横軸は結晶中の電子の波数ベクトルであるのに対し、バンド図の横軸は空間の位置を表します。この違いが、両図の適用範囲と解釈を大きく変えます。

バンド図は、空間におけるバンド構造の変化を示すため、その解像度は不確定性原理によって制限されます。電子状態は運動量に依存し、運動量は長い距離スケールでしか正確に定義されません。そのため、バンド図は長距離スケールでのバンド構造の変化を正確に表すことができますが、物質間の界面を原子レベルの解像度で示すことはできません。界面は「ブラックボックス」として扱われ、長い距離の影響は漸近的なバンドベンディングとして表現されます。

バンド図の詳細

バンド図の縦軸は電子エネルギー（運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和）、横軸は空間の位置を表し、目盛りは省略されることが多いです。高い位置解像度が得られない点は、不確定性原理による制約です。バンド構造は運動量に依存するため、位置の不確定性が生じるためです。

基本的なバンド図は電子エネルギー準位のみを示しますが、より詳細な情報（電子の移動、バイアス電圧、電流の流れなど）を追加して表現されることも多く、図の解釈を容易にします。バンドの着色はエネルギー準位の占有状態やバンドギャップを示すために用いられ、視覚的な理解を助けます。

主要なエネルギー準位

物質の種類や必要な詳細度に応じて、様々なエネルギー準位が位置に対して描画されます。

フェルミ準位 (EF または μ): バンドの数量ではありませんが、バンド図において非常に重要なレベルです。デバイスの電極によって決定され、平衡状態では一定で水平線として描かれます。非平衡状態（電位差印加時など）では水平ではなくなり、複数の擬フェルミ準位が必要となる場合もあります。非平衡状態の絶縁体や真空では、準平衡状態を説明できず、フェルミ準位を定義できない場合があります。
伝導帯端 (EC): 電子が伝導する伝導帯の底のエネルギーを表し、特にn型半導体で重要です。絶縁体でもバンドベンディングの説明に用いられます。
価電子帯端 (EV): 電子（または正孔）が伝導する価電子帯の頂上のエネルギーを表し、p型半導体で重要です。
真性フェルミ準位 (Ei): 中性的にドープされた半導体（電子と正孔の数が等しい）におけるフェルミ準位を示します。
不純物エネルギー準位 (Eimp): 格子欠陥やドーパントがバンドギャップ内に作るエネルギー準位です。イオン化状態の判定に役立ちます。
真空準位 (Evac): 真空中におけるエネルギーレベルで、電位φを用いて -eφと表されます。物質と真空の界面では、真空準位は仕事関数とフェルミ準位によって決定されます。
電子親和力準位: 真空準位が物質内部にまで描かれることもあります。これは電子親和力によって決定され、伝導帯の上の固定された高さに描かれます。しかし、定義が曖昧で、実際のエネルギーバンドとは一致しない場合もあります。

バンドベンディング

バンド図において、物質内部の電子エネルギー準位（バンド）は、接合部付近で上または下に曲がる現象が見られます。これがバンドベンディングです。これは空間的な物理的な曲がりではなく、空間電荷効果によるエネルギーオフセットです。

バンドベンディングの基礎は空間電荷、つまり電荷中性の局所的な不均衡です。ポアソン方程式がこの曲がりを記述します。電荷不均衡の原因は、均一な物質では電荷中性が保たれるのに対し、界面ではその必要がないためです。様々な種類の界面で電荷不均衡が生じます。

同じ材質の半導体の接合（pn接合）：ドーパントの密度が低いため、バンドは連続的に変化します。
異なる材質の半導体の接合（ヘテロ接合）：バンドエネルギーが鋭く変化します。
半導体と金属の接合：半導体のバンドは金属のフェルミ準位にピン留めされます。
* 導体と真空の接合：真空準位は金属の仕事関数とフェルミ準位によって決定されます。

接合部のバンドベンディングは、接合が整流性（ショットキー接触）かオーム性（オーミック接触）かを決める鍵となります。バンドの曲がり具合はフェルミ準位と電荷キャリア密度に依存し、n型半導体ではバンドが上向きに、p型半導体では下向きに曲がります。バンドベンディングは磁場や温度勾配には依存せず、電場のみによって生じます。

参考文献

James D. Livingston, Electronic Properties of Engineering Materials, Wiley (December 21, 1999).

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