パデ近似

パデ近似

概要

数学におけるパデ近似は、関数を最良の形で近似するための有理関数です。この近似法は1870年代にフランスの数学者、アンリ・パデによって発展されました。パデ近似は、テイラー級数と異なり、収束範囲が広く、特にコンピュータ計算に多く利用されています。この手法の最大の利点は、テイラー系数の有限項を用いた近似よりも優れた精度を持つことです。

パデ近似の定義

滑らかな関数$f(x)$と非負整数$m,n$に対して、$f(x)$の$m/n$次パデ近似は以下の有理関数として定義されます。

$$
R(x) = \frac{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m}{1 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots + b_n x^n}
$$

この関数$R(x)$は$k$次微分が原点において$f(x)$と一致することを条件とします。

パデ近似の特性

a. 高い精度: パデ近似は、特にテイラー級数が収束しない場合でも、関数の挙動を正確にトレースできます。

b. 多様な応用: この方法は、ディオファントス近似や超越数論の補助関数としても使われており、特定の問題に最適化された手法が用いられることが一般的です。

c. 特異点の回避: 有理関数を使用することで意図しない特異点が生じる可能性がありますが、ボレル・パデ解析を通じてそのリスクを減少させることができます。

計算方法

パデ近似を求める方法の1つは、Wynnのイプシロンアルゴリズムを使用することです。また、テイラー級数の部分和から得た数列変形をもとに計算が行われることもあります。この手法は、数列の最大公約数を計算するために、拡張ユークリッドアルゴリズムを利用します。

変数の多様性

パデ近似は主に1変数で対応しますが、2変数や多変数の近似に対しては、チザム近似やカンタベリー近似と呼ばれる方法があります。これにより、より広範な関数に対しても近似を行うことが可能になります。

例

指数関数

指数関数$\exp(x)$の[m/n]次のパデ近似は、

$$
\exp(x) \approx \frac{1 + \frac{1}{2} x + \frac{1}{9} x^2 + \frac{1}{72} x^3 + \frac{1}{1008} x^4 + \frac{1}{30240} x^5}{1 - \frac{1}{2} x + \frac{1}{9} x^2 - \frac{1}{72} x^3 + \frac{1}{1008} x^4 - \frac{1}{30240} x^5}
$$

のように表されます。

正弦関数

正弦関数の場合、近似は次のように書かれます。

$$
\sin(x) \approx \frac{(12671/4363920)x^5 - (2363/18183)x^3 + x}{1 + (445/12122)x^2 + (601/872784)x^4 + (121/16662240)x^6}
$$

結論

パデ近似は優れた近似精度と計算の柔軟性から、現代の数理計算や理論的な応用において非常に重要な役割を果たしています。特に、難しい問題に直面した際に、この手法を適切に利用することで新たな知見を得ることができます。

もう一度検索