ピカールの定理

ピカールの定理

概要

ピカールの定理は、複素解析における基本的な定理であり、この理論は大定理と小定理からなります。この定理は、エミール・ピカールによって1878年に小定理が、そして1886年に大定理が証明されました。これらは数学の理論において非常に重要な役割を果たしています。

大定理

ピカールの大定理は、孤立した真性特異点の近くでの関数の振る舞いを示しています。具体的には、もし複素関数$f(z)$が孤立した真性特異点の近傍で正則であり、かつ、通常の条件を満たさない場合、関数の像は高々一つの点を除いて複素平面全体を覆います。

この特性は、特異点の近傍において、任意の複素数$b$が特異点を除く全ての点で得られることを示唆しています。特定の条件が満たされない場合、特異点の存在が関数の全体的な振る舞いに与える影響を強調します。

小定理

ピカールの小定理は、大定理の結果に依存しており、整関数の特性を詳述しています。具体的には、整関数が持つ値域は、一つの特異点を除いて複素平面全体をカバーします。つまり、複素平面から二つ以上の点を除く値域を持つ整関数は定数でなければなりません。この結果は、カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理やリウヴィルの定理を強化し、整関数の特性を深く理解する手助けとなります。

具体例

真性特異点を持つ関数の一例として、$f(z)=e^{rac{1}{z}}$を考えます。この関数の特異点周辺では、任意の非零の複素数$v$に対して適切な$z$が存在し、$f(z)＝v$が成立します。これはピカールの大定理の主張を満たすものであり、他の真性特異点を持つ関数も同様の特性を示します。

大定理及び小定理の証明

大定理の証明は背理法によって行われます。$f(z)$が特異点$a$と異なる値を取らない場合には、これに矛盾が生じることを示します。この方法により、特異点の影響がどのように残りの複素平面に及ぶのかが明らかになります。

小定理の証明は、大定理を基にして整関数が持つ性質を利用します。特に、整関数が持つ特異点は単一の特異点であることが示され、これもまた特異点の存在を明示的に示すものとなります。

参考文献

• - 吉田洋一「Ⅸ章 Picard の定理」『函数論』（第2版）岩波書店、2015年7月10日（原著1965年3月31日）。
• - Weisstein, Eric W. “Picard's Great Theorem” - mathworld.wolfram.com
• - Weisstein, Eric W. “Picard's Little Theorem” - mathworld.wolfram.com

関連項目

• - [ピカルの定理]] - 本定理をもじったタイトルのフジテレビの番組
• - 外部リンク [世界大百科事典『ピカールの定理』 - コトバンク

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