ファン・デル・ヴェルデン表示

ファン・デル・ヴェルデン表示の概要

ファン・デル・ヴェルデン表示（Van der Waerden notation）は、理論物理学における4次元の2成分スピノル、特にワイル・スピノルを表すための記法です。この表示法は、ツイスター理論や超対称性理論において標準的に使用されており、その基礎はオランダの数学者ファン・デル・ヴェルデンにあります。

スピノルの構成

ファン・デル・ヴェルデン表示では、ディラック・スピノル ψ を左右のカイラリティで分かれた上下の2成分として表現します。このように表記することで、スピノルの微細な性質や操作が明確になります。具体的には、スピノルは以下のように書かれます:

$$
  
egin{pmatrix}\0\ ext{} 0\\ ext{ofy}\0,\
ext{ denoting } ext{(}`{ ext{ Ψ
}}_L + { ext{ Ψ
}}_R = {egin{pmatrix} \  ext{0}\ ext{, }\{t} imes \
{ ext{L}\
ormtextbf{ ext{R}}$}.
$$

この表記法では、左側のスピノルは点なし添字を持ち、右側のスピノルは点付き添字を持ちます。

カイラルスピノル

カイラル表現を用いることで、スピノルはそれぞれ異なる性質を持つことが明確になります。カイラル・スピノルは、左巻きのカイラリティを持ち、点なしの添字を使って示されます。当該スピノルは次のように表記されます:

$$
egin{pmatrix}_{ ext{α}} \ 0 \
ext{(}_{ ext{L}}, ext{ensured on the left} ext{)}}
$$

一方、右巻きスピノルは反カイラル・スピノルと呼ばれ、点付きの添字によって表されます:

$$
egin{pmatrix} 0 \ ar{}^{•{ ext{α}}} ext{(}_{ ext{R}} ext{)}}
$$

こうして、右巻きと左巻きのスピノルがそれぞれ異なる性質を持っていることがわかります。

ディラック添字

ディラック表記法では、ハット付きの添字が用いられ、点付きおよび点なしの両方の添字がまとめられます。これにより、スピノルの操作が簡略化され、形式的な表示が可能になります。たとえば、ディラックスピノルは次のように表記されます:

$$
egin{pmatrix}^{ ext{α}} \ {ar{}}^{• ext{α}} ext{(with respect to normal forms)}
ext{(} = {ar{α}} ext{)}{ ext{...}}
$$

これらの表記法から、それぞれのスピノルがどのように相互作用するかが読み取れます。

荷電共役とその変換

スピノルの荷電共役変換（C 変換）は重要な概念であり、スピノルの構成に新たな視点を加えます。荷電共役行列は次のように表現されます:

$$
egin{pmatrix}_{ ext{α}} \ {ar{}}^{• ext{α}} ext{(represented under triggers)}
ext{(}. ext{C} ext{=signOptional}{ ext{)}} = C egin{pmatrix}^{ ext{α}}\ {ar{}}_{ ext{α}} ext{(under representation respectively}}\ ext{...(from}}
$$

このように、スピノルの性質や変換法則により、理論物理学におけるスピノルの利用価値が高まります。

結論

まとめると、ファン・デル・ヴェルデン表示は複雑なスピノルを扱うための強力なツールです。この表記法を用いることで、理論物理学におけるさまざまな問題に対処しやすくなり、科学者たちは新しい理論の発展に貢献できるようになります。

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