フィッティング・イデアル

フィッティング・イデアル

可換環R上の有限生成加群Mは、特定の元により生成される場合があり、このときフィッティング・イデアル（Fitting ideal）はその生成行列から派生する重要な概念です。この理論は数学の多くの領域において、特に代数幾何学や数論において欠かせない役割を果たしています。

定義と基本的な性質

有限生成加群Mが元$m_1, \, m_2, \, ext{…}, \, m_n$によって生成されるとこがあり、これらの元に対して「関係式」が成り立つとします。この関係式は、次のように表されます：

$$
a_{j1}m_{1}+a_{j2}m_{2}+ ext{…}+a_{jn}m_{n}=0 \, (j=1,2,…)
$$

ここで、$a_{ji}$は環Rからの元です。Mのi次フィッティング・イデアル$Fitt_i(M)$は、行列$a_{jk}$の$n-i$次の小行列式により生成されるイデアルとして定義されます。このフィッティング・イデアルは、Mの生成元や関係式と無関係に決定されるため、多くの場面での応用が期待されます。

特に、最初のゼロでないフィッティング・イデアルを$I(M)$と定義する学者もいます。

増大する性質

フィッティング・イデアルは次のように増加します：

$$Fitt_0(M) ⊆ Fitt_1(M) ⊆ Fitt_2(M) ⊆ …$$
これは、Mがn個の元で生成できる場合、$Fitt_n(M) = R$が成立することを示しています。逆に、Rが局所環であれば、Mの零化イデアルを$Ann(M)$と定義すると、$Fitt_0(M) ⊆ Ann(M)$が成り立つことも重要です。また、$Ann(M) Fitt_i(M) ⊆ Fitt_{i-1}(M)$が常に成り立つ点にも留意するべきです。

特に、もしMがn個の元で生成されるなら$Ann(M)^n ⊆ Fitt_0(M)$が成り立ちます。

具体例

加群Mが階数nの自由加群とすると、フィッティング・イデアル$Fitt_i(M)$は次のようになります。

• - $i < n$の場合、$Fitt_i(M) = 0$です。
• - $i

e n$であれば、$Fitt_i(M) = R$となります。

また、位数のある有限アーベル群を考えると、整数環上の加群として扱った場合、$Fitt_0(M)$は理論的に$|M|$というイデアルに収束します。さらに、結び目のアレクサンダー多項式は、結び目補空間の無限次アーベル被覆における1次ホモロジーのフィッティング・イデアルの生成元としても知られています。

フィッティング像とスキーム論

フィッティング・イデアルはまた、スキームの射に関連するスキーム論的な背景でも重要な役割を果たします。スキームの射$f : X o Y$に対して、0次フィッティング・イデアルはスキームの射のフィッティング像を定義するために使用されます。これにより、閉部分スキームが自然に得られるとともに、族に対する振る舞いが促進されます。

歴史的背景

フィッティング・イデアルの概念は1929年に、数学者フィリップ・フルトヴェングラーによって類体論の主イデアル定理を証明する中で初めて重要視されました。彼の証明は難解であったため、その後、彌永昌吉が位数イデアルの概念を導入し、ハンス・フィッティングが行列式イデアルとして拡張し、現在のフィッティング・イデアルという名称が与えられました。この理論は非常に多くの分野に適用され、特にバリー・メイザーとアンドリュー・ワイルズによる岩澤主予想の証明において大きな役割を果たしました。

フィッティング・イデアルは、現代の数学においてその深さと広がりを持つ極めて有用な概念であり、さまざまな研究において重要なツールとなっています。

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