フェルミ気体

フェルミ気体：量子力学的な多粒子系

フェルミ気体とは、多数のフェルミ粒子によって構成される物質の状態を指します。フェルミ粒子とは、電子や陽子、中性子など、半整数のスピン量子数を持つ粒子です。これらの粒子は、フェルミ・ディラック統計に従い、そのエネルギー分布は温度、密度、そして利用可能なエネルギー状態によって決定されます。

フェルミ気体の特筆すべき性質として、パウリの排他原理が挙げられます。この原理により、同一の量子状態を2つ以上のフェルミ粒子が同時に占有することは許されません。このため、ボース粒子からなるボース気体とは異なり、相互作用のないフェルミ気体はボース・アインシュタイン凝縮を起こしません。ただし、フェルミ粒子間に相互作用が存在する場合には、凝縮が起こる可能性があります。

絶対零度においても、フェルミ気体は圧力を持ちます。これは、パウリの排他原理によってフェルミ粒子が互いに押し合いへし合い、ある種の圧力、すなわち縮退圧を生み出すためです。この圧力は、古典的な理想気体とは対照的に、温度が0になっても消えることがありません。

この縮退圧は、中性子星（中性子のフェルミ気体）や白色矮星（電子のフェルミ気体）の安定性を保つ上で極めて重要です。これらの天体は、莫大な重力によって内部に潰されそうになりますが、縮退圧が重力に対抗することで、星の崩壊を防いでいます。星が十分な質量を持つようになり、縮退圧が重力に打ち勝てなくなった場合のみ、星は崩壊し、特異点となります。

フェルミ気体が縮退状態にあるとみなせる温度をフェルミ温度と呼びます。この温度以下では、圧力はほぼパウリの排他原理のみによって決まります。フェルミ温度はフェルミ粒子の質量とエネルギー状態密度に依存し、金属中の電子気体の場合は数千ケルビン程度と非常に高い値をとります。そのため、室温程度の環境下では、金属中の電子は常に縮退状態にあります。

温度ゼロにおけるフェルミ粒子の最大エネルギーをフェルミエネルギー、また運動量空間におけるフェルミエネルギー面をフェルミ面と呼びます。これらの概念は、物質の電子状態や物性を理解する上で非常に重要です。

理想フェルミ気体

理想フェルミ気体、あるいは自由フェルミ気体とは、フェルミ粒子間の相互作用を無視したモデルです。これは、理想気体の量子力学的な拡張とみなすことができます。白色矮星における電子や中性子星における中性子の挙動は、理想フェルミ気体として近似的に扱うことができます。また、金属や半導体中の電子なども、周期的なポテンシャルを考慮することで同様に扱えます。この場合、擬運動量や結晶運動量（ブロッホ波）を用います。

相互作用を無視することで、理想フェルミ気体の性質は、個々の粒子の挙動から理解することができるようになります。この簡略化によって、複雑な多体問題をより扱いやすくし、摂動論などのより高度な理論の出発点となります。

フェルミ粒子の濃度が温度変化に依存しないと仮定すると、3次元理想フェルミ気体の化学ポテンシャル（フェルミ準位）は、低温近似を用いてフェルミエネルギーと温度の関係式で表すことができます。この式から、室温程度の温度では、フェルミエネルギーと化学ポテンシャルはほぼ等しくなることが分かります。金属におけるフェルミ温度は10⁵ケルビンのオーダーであるため、室温(300 K)では、フェルミエネルギーと化学ポテンシャルは本質的に同じとみなすことができます。

まとめ

フェルミ気体は、パウリの排他原理に基づく特異な性質を持つ多粒子系であり、天体物理学や物性物理学において重要な役割を果たしています。理想フェルミ気体モデルは、複雑な系の性質を理解するための重要な近似として用いられています。

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