フォントネーの定理

フォントネーの定理

フォントネーの定理（Fontené theorems または Fontene's theorems）は、幾何学における特定の三角形と点に関する性質を述べた、三つの重要な定理を総称する言葉です。これらの定理は、三角形の九点円と、特定の点から三角形の辺に下ろした垂線の足が作る垂足円という、二つの基本的な円の間に成り立つ美しい関係性を明らかにします。別名として「フォンテネの定理」とも呼ばれます。

歴史的背景

これらの定理の名称は、20世紀初頭にあたる1905年および1906年に、その結果を発表したフランスの数学者、ジョルジュ・フォントネー（Georges Fontené）に由来しています。しかし、フォントネーがこれらの定理を発表する以前に、特に第二定理と第三定理については、他の数学者たちも同様の結果を独自に発見していました。具体的には、1857年と1867年にジョン・グリフィス（John Griffiths）が、1880年にヴェイユ（Weill）が、そして1889年にはウィリアム・S・マッケイ（William S. M'Cay）が、それぞれ独自の研究の中でこれらの定理の一部または全体に到達していたことが知られています。

第一フォントネーの定理

第一フォントネーの定理は、与えられた三角形 $ riangle ABC$ と平面上の任意の点 $P$ に関連する二つの三角形、すなわち中点三角形と垂足三角形の間の関係を述べます。ここで、中点三角形とは $ riangle ABC$ の各辺の中点を頂点とする三角形 $ riangle A'B'C'$ のことです。また、点 $P$ の垂足三角形とは、点 $P$ から $ riangle ABC$ の各辺に下ろした垂線の足 $X, Y, Z$ を頂点とする三角形 $ riangle XYZ$ です。

この定理によれば、垂足三角形の辺 $YZ, ZX, XY$ が、それぞれ中点三角形の対応する辺 $B'C', C'A', A'B'$ と交わる点を $D, E, F$ とすると、線分 $DX, EY, FZ$ は一つの点において交わります。さらに重要なのは、この交点が $ riangle ABC$ の九点円上にあるという事実です。

第二フォントネーの定理（グリフィスの定理）

第二フォントネーの定理は、三角形の九点円と、ある特定の条件を満たす点の垂足円の関係に焦点を当てます。この定理が述べるのは、三角形の外心を通る任意の直線 $l$ を考えたとき、この直線 $l$ 上にある任意の点 $P$ に対してその垂足円を考えると、点 $P$ が直線 $l$ 上を動いても、その垂足円は常に九点円上の定点を通るということです。

この定点は、直線 $l$ に応じて定まり、「$l$ に対するグリフィス点（the Griffiths point）」と呼ばれます。グリフィス点は、直線 $l$ 上の点の等角共役点の軌跡である外接円錐双曲線の中心と一致するという興味深い性質も持ちます。また、第二フォントネーの定理は、ジョン・グリフィスの独立な発見にちなんで「グリフィスの定理」とも呼ばれます。九点円と垂足円が持つもう一つの交点についても、元の点と三角形の頂点および垂心を通る直角双曲線の中心であることが知られています。

第三フォントネーの定理（マッケイ-ウェイユの定理）

第三フォントネーの定理は、三角形と点 $P$ に関して、点 $P$ の垂足円が九点円に接する条件を特徴づけるものです。この定理によれば、点 $P$ の垂足円が三角形の九点円に接することと、点 $P$ およびその等角共役点 $P^$（三角形の頂点に関する $P$ の等角写像点）と三角形の外心の三点が同一直線上にあることとは同値な条件である、と述べられています。

垂足円と九点円が接する場合、その接点は「フォントネー点（Fontené point）」と呼ばれます。この定理は、点 $P$ が三角形の垂心である場合に特別な意味を持ち、そのとき垂心円（垂心に対する垂足円）は九点円に内接し、これがフォイエルバッハの定理とその接点であるフォイエルバッハ点に対応します。したがって、フォイエルバッハの定理は第三フォントネーの定理の特別な場合と見なすことができます。また、点 $P, P^$, 外心が同一直線上にあるような点 $P$ の軌跡は、マッケイ三次曲線（M'Cay cubic）として知られています。この定理は、マッケイとウェイユの独立な発見から「マッケイ-ウェイユの定理」とも呼ばれています。

これらの三つの定理は、九点円や垂足円といった古典的な幾何学的対象の間に潜む深遠な関連性を浮き彫りにし、三角形幾何学における重要な結果として位置づけられています。

もう一度検索