フォン・ノイマン環

概要

フォン・ノイマン環は、ヒルベルト空間上で定義される作用素環の一種です。具体的には、ヒルベルト空間上の有界線型作用素全体がなすC-環の部分環であり、恒等作用素を含み、作用素の弱収束位相に関して閉じているという重要な性質を持ちます。この理論は、20世紀の偉大な数学者であるジョン・フォン・ノイマンが創始者の一人であることから、その名が冠されています。作用素環論という数学の分野において、一般的なC-環と並んで中心的な研究対象とされています。可換なフォン・ノイマン環の例としては、特定の条件（σ-有限測度空間）を満たす空間上のL∞級関数全体が作る環が挙げられます。

定義

厳密には、ヒルベルト空間をH、その上の有界線型作用素全体のC-環をB(H)とします。B(H)の持つ部分C-環Mが、以下の二つの条件を満たすとき、「H上のフォン・ノイマン環」と呼ばれます。

1. MはH上の恒等作用素（単位元）を含んでいること。
2. Mは作用素の弱収束位相に関して閉じていること。この位相は、B(H)をH上の連続な半双線型形式の空間と同一視した際の各点収束位相として理解できます。

Mが条件2のみを満たす場合でも、その単位元はHのある閉部分空間への射影作用素であり、Mをその部分空間上のフォン・ノイマン環とみなすことができます。

また、「W-環」という用語は、あるフォン・ノイマン環と同型であるようなC-環を指します。W-環は、特定のバナッハ空間（前双対と呼ばれる）の双対空間として特徴づけられます。

特徴づけ

フォン・ノイマン環にはいくつかの同値な定義や特徴づけが存在します。特に、フォン・ノイマンの再交換団定理は、ヒルベルト空間H上のフォン・ノイマン環Mを特徴づける重要な結果です。それによれば、Mは次のように特徴づけられます。

B(H)の部分-環で、恒等作用素を含み、作用素の強収束位相に関して閉じているもの。
B(H)の部分集合Xの交換団X′を{y ∈ B(H) | ∀x ∈ X : xy = yx}と定義するとき、MがM′′（自身の交換団の交換団）と一致し、かつ対合（-演算）について閉じているもの。

W-環はまた、C-環の中で、ある一意に定まるバナッハ空間（前双対）の双対空間として表現できるものとしても特徴づけられます。

σ-弱収束位相

フォン・ノイマン環Mについて、作用素の弱収束位相に関して連続なM上の線型形式は、ベクトルx, y ∈ Hを用いて`(Tx, y)`と表される形式の有限個の線型結合で尽くされます。これらの線型形式がMの双対空間Mにおいて張る閉部分空間は、Mの「前双対」（predual）Mと呼ばれます。Mとのペアリングによって定義されるM上の弱収束位相を「σ-弱収束位相」（sigma-weak topology）と呼びます。

二つのフォン・ノイマン環間の-準同型fがσ-弱収束位相に関して連続であるとき、「正規」（normal）と呼ばれます。正規な-準同型の像は、作用素の弱収束位相に関して閉じます。正規でない-準同型も存在します。

非可換測度空間との関連

可分なヒルベルト空間上の可換なフォン・ノイマン環は、本質的にL∞関数環と同型です。測度空間上のL∞関数環からは、その測度空間の可測集合構造を復元できます。また、σ-弱連続な線型形式はL1関数（または絶対連続な複素測度）に対応すると考えられます。

このことから、一般のフォン・ノイマン環は、可換な測度空間の概念を「非可換」な状況へ拡張したもの、あるいはより複雑な空間構造（例えば葉層）における測度論を表現するものと見なされます。実際、古典的な測度論の重要な定理は、非可換なフォン・ノルマン環の設定で有効な形で証明可能です。

構造の分類と因子

フォン・ノイマン環Mの構造は、その中の射影子集合の性質によって分類されます。射影子の順序関係に基づき、フォン・ノイマン環はI型、II型、III型に大別されます（II1型やII∞型など、さらに細かい分類もあります）。任意のMは、I型、II型、III型のフォン・ノイマン環MI, MII, MIIIの直和MI ⊕ MII ⊕ MIIIと同型であり、この分解は同型を除いて一意です。

中心M ∩ M′が単位元が張る1次元部分空間に一致するフォン・ノイマン環は「因子」（factor）と呼ばれます。これは、W-環としての直和分解が自明なものに限ることを意味します。可分なヒルベルト空間上の任意のフォン・ノイマン環は、因子の直積分という形で分解できます。

具体的な構成例

B(H): ヒルベルト空間H上の有界線型作用素全体B(H)はI型因子です。任意のI型因子はB(H)と同型です。
L∞環: 可分H上の可換フォン・ノイマン環は、ある測度空間上のL∞関数環と同型です。
群フォン・ノイマン環: 局所コンパクト群Gから構成されます。Gが有限群の場合は群環C[G]と同型です。
葉層のフォン・ノイマン環: 葉層構造を持つ多様体から構成されます。
テンソル積: 二つのフォン・ノイマン環M, NからM ⊗ Nを構成できます。
接合積: 可換なフォン・ノイマン環Aに群Gが作用している場合に構成されるAとGの接合積です。

応用分野

フォン・ノイマン環の理論は、純粋数学だけでなく、表現論、結び目理論、トポロジー、統計力学、確率論、共形場理論、場の量子論など、幅広い分野で重要な応用があります。

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