フレドホルム核
数学の分野、特に解析学や関数解析において、フレドホルム核は基本的な概念の一つです。これはスウェーデンの数学者エリック・イヴァル・フレドホルムにちなんで名付けられ、フレドホルム積分方程式やフレドホルム作用素の研究から発展しました。フレドホルム理論の中核をなす研究対象であり、その抽象化された理論は、フランスの数学者アレクサンドル・グロタンディークによって大きく進展し、1950年代半ばの彼の著作に詳しい内容が見られます。
フレドホルム核を厳密に定義するには、ある種の関数空間であるバナッハ空間 B と、その双対空間 B（B上の有界線型汎関数全体の空間）を用います。フレドホルム核は、これらの空間のテンソル積にある特定のノルム（射影ノルムと呼ばれる）を入れて完備化した空間の要素として定義されます。この完備化されたテンソル積空間は、射影位相テンソル積と呼ばれ、フレドホルム核とは、この空間の要素そのものを指します。
フレドホルム核は、一般的に特定の級数の形で表現できるという性質を持ちます。具体的には、バナッハ空間 B の要素 $e_i$ とその双対空間 B の要素 $e_i^$ を用いて、$\sum_i \lambda_i e_i^ \otimes e_i$ のような形に書けます。ここで、$e_i$ と $e_i^$ はノルムが1である要素を選び、係数 $\lambda_i$ は絶対値の総和が有限である、すなわち $\sum_i |\lambda_i| < \infty$ を満たす実数または複素数の列です。このような級数表示を持つフレドホルム核 X に対して、B から B への線型作用素 ${\mathcal{L}}_X$ が対応します。この作用素は $f \in B$ に対して ${\mathcal{L}}_X f = \sum_i \lambda_i e_i^(f) \otimes e_i$ と定義されます。また、フレドホルム核 X にはトレースという値が定義できます。これは級数表示の係数 $\lambda_i$ と $e_i^$ を $e_i$ に作用させた値 $e_i^(e_i)$ の積の総和 $\sum_i \lambda_i e_i^*(e_i)$ として与えられます。
フレドホルム核が持つさらなる性質として、「p-総和可能」であるかどうかが議論されます。これは、前述の級数表示における係数 $\lambda_i$ の絶対値のp乗の総和 $\sum_i |\lambda_i|^p$ が有限である場合にそう呼ばれます。特に、$0 < p \leq 1$ の範囲でこれが成り立つときに着目します。フレドホルム核の「次数」とは、それがp-総和可能となるようなすべての $p$ の下限として定義される量です。
フレドホルム核 X に対応する線型作用素 ${\mathcal{L}}_X: B \to B$ は「核作用素」と呼ばれます。全ての核作用素は、あるフレドホルム核から生成されます。核作用素がp-総和可能である、あるいは次数 q であるという場合、それは対応するフレドホルム核 X がその性質を満たすことを意味します。ただし、一つの核作用素に対して対応するフレドホルム核が常に一意であるとは限りません。この一意性の問題は、トレースの値にも影響を与えます。
核作用素のトレースの一意性に関する重要な結果が、アレクサンドル・グロタンディークによって示されました。グロタンディークの定理によれば、核作用素 ${\mathcal{L}}: B \to B$ の次数が特定の条件 $q \leq 2/3$ を満たす場合、そのトレースは一意に定義されます。この一意なトレース ${\rm Tr}{\mathcal{L}}$ は、作用素 ${\mathcal{L}}$ のすべての固有値 $\rho_i$ の総和 $\sum_i \rho_i$ に等しいことが示されます。さらに、この条件下では、フレドホルム行列式と呼ばれる量 $\det(1-z{\mathcal{L}})$ が定義でき、これは複素変数 z の整関数となり、固有値を用いて $\prod_i (1-\rho_i z)$ と表されることも証明されました。また、$\det(1-z{\mathcal{L}}) = \exp({\rm Tr}\log(1-z{\mathcal{L}}))$ という関係式も成り立ちます。もし作用素 ${\mathcal{L}}$ が複素パラメータ w に対して正則な形で依存している場合、この定理によって定義されるトレースやフレドホルム行列式もまた、そのパラメータ w に対して正則となることが保証されます。
フレドホルム核や核作用素が具体的に現れる例として、多次元複素空間 $\mathbb{C}^k$ の領域 D 上の正則関数からなるバナッハ空間が挙げられます。この空間上の核作用素は、全て次数がゼロであることが知られており、これは特に「トレースクラス作用素」と呼ばれる重要なクラスに属します。
核作用素の概念は、バナッch空間だけでなく、より一般的な関数空間であるフレシェ空間にも拡張されます。「核空間」とは、それ自身から任意のバナッハ空間へのすべての有界線型写像が核作用素となるようなフレシェ空間を指します。これは、ある種の「良い性質」を持つ空間のクラスを定義するものです。フレドホルム核とそれに付随する理論は、関数解析学における線型作用素の構造を理解する上で極めて重要な役割を果たしています。
フレドホルム核を厳密に定義するには、ある種の関数空間であるバナッハ空間 B と、その双対空間 B（B上の有界線型汎関数全体の空間）を用います。フレドホルム核は、これらの空間のテンソル積にある特定のノルム（射影ノルムと呼ばれる）を入れて完備化した空間の要素として定義されます。この完備化されたテンソル積空間は、射影位相テンソル積と呼ばれ、フレドホルム核とは、この空間の要素そのものを指します。
フレドホルム核は、一般的に特定の級数の形で表現できるという性質を持ちます。具体的には、バナッハ空間 B の要素 $e_i$ とその双対空間 B の要素 $e_i^$ を用いて、$\sum_i \lambda_i e_i^ \otimes e_i$ のような形に書けます。ここで、$e_i$ と $e_i^$ はノルムが1である要素を選び、係数 $\lambda_i$ は絶対値の総和が有限である、すなわち $\sum_i |\lambda_i| < \infty$ を満たす実数または複素数の列です。このような級数表示を持つフレドホルム核 X に対して、B から B への線型作用素 ${\mathcal{L}}_X$ が対応します。この作用素は $f \in B$ に対して ${\mathcal{L}}_X f = \sum_i \lambda_i e_i^(f) \otimes e_i$ と定義されます。また、フレドホルム核 X にはトレースという値が定義できます。これは級数表示の係数 $\lambda_i$ と $e_i^$ を $e_i$ に作用させた値 $e_i^(e_i)$ の積の総和 $\sum_i \lambda_i e_i^*(e_i)$ として与えられます。
フレドホルム核が持つさらなる性質として、「p-総和可能」であるかどうかが議論されます。これは、前述の級数表示における係数 $\lambda_i$ の絶対値のp乗の総和 $\sum_i |\lambda_i|^p$ が有限である場合にそう呼ばれます。特に、$0 < p \leq 1$ の範囲でこれが成り立つときに着目します。フレドホルム核の「次数」とは、それがp-総和可能となるようなすべての $p$ の下限として定義される量です。
フレドホルム核 X に対応する線型作用素 ${\mathcal{L}}_X: B \to B$ は「核作用素」と呼ばれます。全ての核作用素は、あるフレドホルム核から生成されます。核作用素がp-総和可能である、あるいは次数 q であるという場合、それは対応するフレドホルム核 X がその性質を満たすことを意味します。ただし、一つの核作用素に対して対応するフレドホルム核が常に一意であるとは限りません。この一意性の問題は、トレースの値にも影響を与えます。
核作用素のトレースの一意性に関する重要な結果が、アレクサンドル・グロタンディークによって示されました。グロタンディークの定理によれば、核作用素 ${\mathcal{L}}: B \to B$ の次数が特定の条件 $q \leq 2/3$ を満たす場合、そのトレースは一意に定義されます。この一意なトレース ${\rm Tr}{\mathcal{L}}$ は、作用素 ${\mathcal{L}}$ のすべての固有値 $\rho_i$ の総和 $\sum_i \rho_i$ に等しいことが示されます。さらに、この条件下では、フレドホルム行列式と呼ばれる量 $\det(1-z{\mathcal{L}})$ が定義でき、これは複素変数 z の整関数となり、固有値を用いて $\prod_i (1-\rho_i z)$ と表されることも証明されました。また、$\det(1-z{\mathcal{L}}) = \exp({\rm Tr}\log(1-z{\mathcal{L}}))$ という関係式も成り立ちます。もし作用素 ${\mathcal{L}}$ が複素パラメータ w に対して正則な形で依存している場合、この定理によって定義されるトレースやフレドホルム行列式もまた、そのパラメータ w に対して正則となることが保証されます。
フレドホルム核や核作用素が具体的に現れる例として、多次元複素空間 $\mathbb{C}^k$ の領域 D 上の正則関数からなるバナッハ空間が挙げられます。この空間上の核作用素は、全て次数がゼロであることが知られており、これは特に「トレースクラス作用素」と呼ばれる重要なクラスに属します。
核作用素の概念は、バナッch空間だけでなく、より一般的な関数空間であるフレシェ空間にも拡張されます。「核空間」とは、それ自身から任意のバナッハ空間へのすべての有界線型写像が核作用素となるようなフレシェ空間を指します。これは、ある種の「良い性質」を持つ空間のクラスを定義するものです。フレドホルム核とそれに付随する理論は、関数解析学における線型作用素の構造を理解する上で極めて重要な役割を果たしています。
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