ブラックホールの熱力学

物理学の中で、ブラックホールの熱力学は、ブラックホールの事象の地平線と熱力学の法則を両立させることを目的とした重要な研究分野です。この分野の発展は、黒体放射に関する統計力学の研究が量子力学の進展を促したように、量子重力理論の理解にも大きな影響を与えてきました。

熱力学第二法則を満たすために、ブラックホールがエントロピーを持つことは不可欠です。もしエントロピーを持たなければ、物質をブラックホールに投げ入れることで、エントロピーが減少し、熱力学の法則が破られることになります。実際には、ブラックホールが物体を飲み込むことで失われるエントロピーは、ブラックホールのエントロピーの増加によって上回られます。

この概念は、スティーブン・ホーキングにより示された定理に基づき、ヤコブ・ベッケンシュタインが事象の地平線の面積をプランク面積で割った値がブラックホールのエントロピーに比例すると予測しました。彼の定義では、比例定数は次の式で示されます。

\[ S_{BH} = \frac{k A}{4 \ell_P^2} \]

ここで、\( A \) は事象の地平線の面積、\( k \) はボルツマン定数、\( \ell_P \) はプランク長です。ホーキングは後に、ブラックホールがホーキング温度に対応する熱的な放射を持つことを証明し、ベッケンシュタインの予想を確かめ、比例定数を\( \frac{1}{4} \)と定めました。これにより、ブラックホールのエントロピーが事象の地平線の面積に比例する法則が確立されたのです。

ブラックホールの力学法則

ブラックホールの力学に関する法則は、熱力学の法則に類似した4つの法則から成り立っています。これらは、ブランドン・カーター、スティーブン・ホーキング、ジェームズ・バーディーンによって発見されました。具体的には、次のような法則です。

第零法則

定常のブラックホールは、事象の地平面において一定の表面重力を持ちます。

第一法則

定常ブラックホールが外部から影響を受けると、エネルギーの変化は表面積や角運動量、電荷の変化と結びつけられます。式としては以下のように表現されます。

\[ dE = \frac{\kappa}{8\pi} dA + \Omega dJ + \Phi dQ \]

第二法則

事象の地平面の面積は時間と共に単調増加するというものです。これは例えば、ブラックホールがホーキング輻射を放出することでエネルギーが減少することと関連があります。

第三法則

表面重力がゼロのブラックホールは存在しないとされています。

数理的背景

ブラックホールのエントロピーは、様々な微視的状態と関連付けられてきましたが、1995年までその具体的な計算はなされていませんでした。当時、ストロミンガーとヴァッファは、弦理論的手法を用いて、特定の条件下での黒洞のエントロピーの正確な計算を行いました。これにより、いくつかの臨界ブラックホールについての結果がベッケンシュタイン＝ホーキングの公式に合致することが確認されました。

さらに、ループ量子重力理論は、ブラックホールのエントロピーを幾何学的に解釈する新たな視点を提供しています。この理論は、ブラックホールの事象の地平線の面積とエントロピーの関係を幾何学的に説明し、エネルギーと面積・温度との関係式を導出します。