ブリュアンゾーン

ブリルアンゾーン：結晶中の電子の振る舞いを解き明かす鍵

ブリユアンゾーン（Brillouin Zone、略称BZ）は、結晶の周期性と電子の波動性を結びつける重要な概念です。逆格子空間におけるウィグナーザイツ胞、言い換えれば、逆格子点から最も近い他の逆格子点までの距離の垂直二等分面で囲まれた最小の領域を第一ブリユアンゾーンと呼びます。さらに、この領域の外側に広がる領域を順に第二、第三…ブリユアンゾーンと称します。

ブリユアンゾーンは、固体物理学、特に電子のエネルギーバンド理論において、その威力を発揮します。結晶中の電子は波動としての性質を持ち、その波動は結晶格子の周期構造によって散乱を受けます。この散乱、つまり回折は、波数ベクトルがブリユアンゾーンの境界上に位置するときに起こるブラッグ反射として理解できます。このブラッグ反射は、電子のエネルギーに影響を与え、エネルギーバンド構造を形成する要因となります。

結晶内の電子とブリユアンゾーン：ブロッホの定理

結晶中の電子の波動関数ψ(r)は、結晶の周期性からブロッホの定理に従います。この定理は、実空間における任意の格子ベクトルRに対して、

ψₖ(r + R) = e^(ik⋅R)ψₖ(r)

という関係が成り立つことを示しています。ここで、kは波数ベクトルです。この式は、波動関数は格子ベクトルRだけ平行移動しても、位相因子e^(ik⋅R)だけ変化することを意味しています。

波数ベクトルkの集合を波数空間（k空間）と呼びます。ここで重要なのは、任意の逆格子ベクトルGに対して、e^(iG⋅R) = 1という関係が成り立つことです。このことから、波数ベクトルkとk + Gは物理的に等価であることが分かります。つまり、電子の状態を記述する際には、第一ブリユアンゾーン内のkベクトルのみを考えれば十分なのです。第一ブリユアンゾーンの外側の領域は、第一ブリユアンゾーン内の領域と等価な状態を表しているためです。

k点：ブリユアンゾーンの分割

第一ブリユアンゾーンは、計算上、メッシュによって多数の小さな領域に分割され、それぞれの領域の中心点をk点（k-point）と呼びます。これらのk点は、バンド計算などの計算において、結晶中の電子の状態をサンプリングする点として用いられます。

ブリユアンゾーン上のk点の中には、対称性の高い位置にある点があり、これらにはX、L、Δ、Λ、Σといった記号が付けられています。通常、ブリユアンゾーン内部のk点はギリシャ文字で、表面のk点はアルファベットの大文字で表記されます。ただし、大文字のK点はk点とは異なり、結晶の対称性を示す記号です。

まとめ

ブリユアンゾーンは、結晶の周期性と電子の波動性を繋ぎ合わせる重要な概念であり、固体物理学における様々な現象、特に電子のエネルギーバンド構造の理解に不可欠です。第一ブリユアンゾーンに注目することで、結晶中の電子の振る舞いを効率的に記述・計算できるため、第一原理バンド計算など、多くの固体物理学における計算手法で広く用いられています。ブロッホの定理やk点といった関連概念も理解することで、ブリユアンゾーンの重要性がより深く理解できるでしょう。

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