ブロッホの定理

ブロッホの定理：結晶中の電子の振る舞い

ブロッホの定理は、量子力学、特に固体物理学において極めて重要な定理です。これは、空間的な周期性（並進対称性）を持つハミルトニアンの固有関数の性質を記述するものです。1928年、フェリックス・ブロッホによって発見されました。

結晶構造は、その原子配列が空間的に周期的に繰り返されているという性質（並進対称性）を持ちます。この周期性のために、結晶中の電子は、通常の自由電子とは異なる振る舞いを見せます。ブロッホの定理はこの振る舞いを数学的に記述するものです。

定理の内容

結晶格子におけるポテンシャル V(r) は、任意の格子ベクトル R に対して V(r+R) = V(r) という周期性を持っています。この周期ポテンシャル下での電子のハミルトニアンは次のように表せます。

H = -ħ²/2m ∇² + V(r)

ここで、ħ は換算プランク定数、m は電子の質量、∇² はラプラシアンです。

ブロッホの定理は、このハミルトニアンの固有関数 ψ(r) が以下の形を持つことを主張します。

ψ(r+R) = exp(ik・R) ψ(r)

ここで、k は波数ベクトルと呼ばれるベクトルです。この式は、波動関数が格子ベクトル R だけ平行移動させると、位相因子 exp(ik・R) だけ変化することを意味します。

ブロッホ関数

ブロッホの定理を満たす波動関数をブロッホ関数と呼びます。ブロッホ関数は、周期関数 uₖ(r) を用いて次のように表現されます。

ψₖ(r) = exp(ik・r) uₖ(r)

ここで、uₖ(r+R) = uₖ(r) という周期性を持っています。つまり、ブロッホ関数は、平面波 exp(ik・r) と周期関数の積で表されます。この平面波の部分が、電子の結晶内での伝播を表し、周期関数 uₖ(r) が、結晶ポテンシャルによる電子の散乱を表しています。

定理の証明

ブロッホの定理の証明は、並進演算子を用いて行われます。1次元結晶の場合を例に説明します。原子間隔 a の1次元結晶において、ポテンシャル V(x) は周期 a を持ちます。

この系におけるハミルトニアン H(x) も周期 a を持ちます。並進演算子 Tₐ は、波動関数を a だけ平行移動する演算子です。このとき、H(x) と Tₐ は交換可能であることが示せます。

[H(x), Tₐ] = 0

これは、H(x) と Tₐ が同時固有関数を持つことを意味します。この同時固有関数がブロッホ関数であり、上記のような形を持つことが証明されます。3次元結晶の場合も同様に証明できます。

バンド構造との関連性

ブロッホの定理は、結晶のエネルギーバンド構造を理解する上で極めて重要です。ブロッホ関数の波数ベクトル k は、結晶運動量と密接に関係しています。エネルギー固有値 E は k の関数となり、Eₙ(k) と表されます。この Eₙ(k) が連続的に変化する範囲をエネルギーバンドと呼びます。

バンド構造は、物質の電気的、光学的、磁気的性質を決定する上で重要な役割を果たします。ブロッホの定理によって、これらの性質を理論的に計算することが可能になります。密度汎関数理論などの手法と組み合わせることで、より正確なバンド構造計算が可能となり、材料科学などの分野で広く活用されています。

まとめ

ブロッホの定理は、結晶中の電子の振る舞いを記述する量子力学の重要な定理です。その定理に基づいて導き出されるブロッホ関数は、結晶中の電子の状態を表現する上で非常に重要な役割を果たし、固体物理学における様々な現象を理解する上で必要不可欠な概念となっています。

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