ブリュア分解

ブリュア分解の概要

ブリュア分解は、代数閉体上の連結簡約代数群に関連する群論の中心的な概念の一つであり、群 G の解明に役立つ。具体的には、群 G が B というボレル部分群と、極大分裂トーラスに対応するワイル群 W を持ち、次のように定義される。G は B と W を用いて、以下のように記述される。

$$ G = BWB = \coprod_{w \in W} B w B $$

ここで、剰余類 wB は群 W の元で列挙され、B の両側剰余類の直和として構成される。ブリュア分解は、一般的にガウス＝ジョルダン消去法の拡張と捉えることもできる。

定義と性質

群 G のブリュア分解は、その構成要素となるボレル部分群 B やワイル群 W との相互作用を通じて、多くの数学的特性を持つ。例えば、任意の代数閉体に対して、G を行列として表すとき、特に重要なケースは一般線型群 GLn である。この群において、ワイル群 W は n 文字の対称群 Sn に同型となるため、ブリュア分解を用いることで、任意の正則行列 A を以下のように表現できる。

$$ A = U_1 P U_2 $$

ここで、U1 と U2 は上半三角行列、P は置換行列である。

幾何的解釈

ブリュア分解の胞体 BwB は、旗多様体のシューベルト胞体と対応していることからも明らかなように、幾何的観点からも重要である。この胞体は、その閉包において旗多様体の構造を反映し、その次元はワイル群の語の長さに関連する。したがって、ブリュア分解は代数群の幾何学的な側面を理解するための重要なツールであり、ポワンカレ双対やワイル群の群環の特性にも依存している。

例と応用

実際の例として、行列式が1の n 次正則行列全体を構成する特殊線型群 SLn を考慮するとよい。この場合、W はやはり対称群 Sn に同型であり、SLn の要素は行列式の符号に関連しているため、ブリュア分解も興味深いものになる。具体的には、この群のボレル部分群は行列式が1の上半三角行列全体からなる。

ブリュア分解の計算

ブリュア分解の計算においては、与えられた次元のブリュア分解の胞体の総数は、関連するディンキン図形の q-多項式の係数と一致することが知られている。このように、ブリュア分解は代数群の研究における基盤であり、その計算は数学のさまざまな分野において影響を与え続けている。

関連項目

• - リー群の分解
• - バーコフ分解

これらの関連項目は、ブリュア分解の理論をより深く理解するために重要であり、各種の数学的構造間の相互関係を明らかにする鍵となる。ブリュア分解を通じて、数学はその多様性と深みを増し続ける。

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